Механические колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

		742	743	744	745	746	747	748	749
750	751	752	753	754	755	756	757	758	759
760	761	762	763	764	765	766	767	768	769
770	771	772	773	774	775	776	777	778	779
780

[alsak]

768. Математический маятник длиной l = 50,0 см колеблется в кабине самолета. Каков период его колебаний, если самолет: а) движется равномерно; б) летит горизонтально с ускорением а = 2,50 м/с²; в) планирует вниз под углом α = 15° к горизонту?

Решение. Случай а. При равномерном движении самолета период маятника будет равен

\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}, \]

Т = 1,40 с.

В случаях б-в) перейдем с систему отсчета, связанную с самолетом. В этой системе на маятник будет дополнительно действовать сила инерции F_i, направленная в противоположную сторону ускорения самолета. Период колебаний математического маятника в этом случае равен

\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g*} }, \; \; \; \vec{g}*=\vec{g}+\vec{a}, \;\;\; (1) \]

где g* — эффективное ускорение, характеризующее результирующее действие силы тяжести и силы инерции, a — ускорения шарика, вызванное силой инерции. Найдем значение эффективного ускорения.

Случай б. Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 1). Так как ускорение a направлено горизонтально, то

\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2}}. \]

Тогда

\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^{2} +a^{2}}}}, \]

Т = 1,38 с.

Случай в. Найдем ускорение a_c, с которым планирует (выключен двигатель) самолет. На самолет действуют сила тяжести (m⋅g) и подъемная сила (N) (рис. 2). Из второго закона Ньютона:

\[ m\cdot \vec{a}_{c} =m\cdot \vec{g}+\vec{N}, \]

0X: m⋅a_с = m⋅g⋅sin α,  a_с = g⋅sin α. (2)

Построим треугольник ускорений для уравнения (1) (рис. 3). Из рисунка видно, что по теореме косинусов

\[ g*=\sqrt{g^{2} +a^{2} -2g\cdot a\cdot \cos \beta }, \]

где β = 90° – α, cos β = sin α, a = a_с = g⋅sin α — из уравнения (2). Тогда

\[ g*=\sqrt{g^{2} +\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} -2g\cdot g\cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha } =\sqrt{g^{2} -\left(g\cdot \sin \alpha \right)^{2} } =g\cdot \cos \alpha. \]

В итоге получаем

\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g\cdot \cos \alpha } }, \]

Т = 1,43 с.

[Kivir]

770. Ареометр массой m состоит из закрытого стеклянного сосуда с грузом и цилиндрической трубки, площадь поперечного сечения которой равна S. Он помещён в жидкость плотностью ρ (рис 246). Ареометр погружают в жидкость немного глубже, чем это нужно для его равновесия, и затем  отпускают. Найти период свободных колебаний ареометра. Трением пренебречь.
Решение:  При погружении в жидкость немного глубже, чем это нужно для равновесия, на ареометр начинает действовать возвращающая сила и при пренебрежении трением возникнут гармонические колебания. В данном случае, это сила Архимеда, действующая на цилиндрическую трубку, которая оказалась дополнительно погружённой в жидкость. Пусть ареометр погрузили на расстояние равное x. Тогда:

F = ρ∙g∙∆V= ρ∙g∙S∙x

Именно эта сила сообщает ускорение колебательной системе. Воспользуемся вторым законом Ньютона:  F=ma,   здесь  a = ω²x  - модуль ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

ρ∙g∙S∙x=m∙ ω² ∙x

\[ ω =\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S\cdot x}{m\cdot x}}=\sqrt{\frac{\rho \cdot g\cdot S}{m}} \]

\[ T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho gS}} \]

[Kivir]

742. Тело массой m = 2,0 кг совершает гармонические колебания по закону х = 50cos(πt/3), где все величины выражены в единицах СИ. Определить максимальные значения смешения, скорости, ускорения и силы. Найти полную энергию тела.
Решение: максимальное значение смещения – это коэффициент перед косинусом в уравнении колебаний:  x_max = 50 м, т.к. косинус (синус)  принимает максимальное значение равное единице.
Проекцию скорости определим, взяв первую производную от координаты по времени (физический смысл производной):

\[ {{\upsilon }_{x}}={{\left( 50\cos \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t. \]

Откуда видно, что υ_max=50π/3=52 м/с.
Проекцию ускорения определим, взяв производную от скорости по времени:

\[ {{a}_{x}}={{{\upsilon }'}_{x}}={{\left( -\frac{\pi }{3}\cdot 50\cdot \sin \frac{\pi }{3}t \right)}^{\prime }}=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot 50\cdot \cos \frac{\pi }{3}t=-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}}\cdot x. \]

Тогда: a_max = (π/3)²∙x_max = 54,7 м/с².
Максимальное значение силы определим по второму закону Ньютона:

F_max=m∙a_max.

F_max=109,4 Н.

[Kivir]

744. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного алюминиевый шарик такого же объема? Плотность меди ρ₁= 8,9 ∙10³ кг/м³, алюминия ρ₂ = 2,7 ∙10³ кг/м³.
Решение: Шарик, прикреплённый к пружине  и совершающий колебания – это пружинный маятник, период колебаний которого:

\[ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Массу определим через плотность и объём, подставим в формулу для периода и найдём отношение:

\[ \frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}\cdot V}{k}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{\rho }_{2}}\cdot V}{k}}}=\sqrt{\frac{{{\rho }_{1}}}{{{\rho }_{2}}}}=1,8. \]

Ответ: уменьшится в 1,8 раз.

[Kivir]

745. Тело, прикрепленное к пружине, вывели из состояния равновесия и отпустили, в результате чего оно стало совершать гармонические колебания вдоль горизонтального стержня. Определить отношение кинетической энергии системы к ее потенциальной энергии по истечении времени t после начала колебаний, если их период равен Т. Массой пружины пренебречь.
Решение: Запишем уравнение гармонического колебания, учтем, что в начальный момент тело было в точке максимального смещения, поэтому удобнее воспользоваться косинусом (начальная фаза в этом случае равна нулю).

\[ x={{x}_{m}}\cos \left( \omega t \right) \]

Скорость:

\[ \upsilon  ={x}'={{\left( {{x}_{m}}\cos \omega t \right)}^{\prime }}=-\omega \cdot {{x}_{m}}\sin \omega t \]

Найдём отношение кинетической энергии системы к её потенциальной. Учтём, что циклическая частота гармонического колебания пружинного маятника:

\[ \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}=\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

\[ \frac{{{E}_{k}}}{{{E}_{p}}}=\frac{\frac{m\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}}{\frac{k\cdot {{x}^{2}}}{2}}=\frac{m}{k}\cdot \frac{{{\left( -\omega \cdot {{x}_{m}}\sin \left( \omega t \right) \right)}^{2}}}{{{\left( {{x}_{m}}\cos \left( \omega t \right) \right)}^{2}}}=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}\cdot {{\omega }^{2}}\cdot {{tg}^{2}}\left( \omega t \right) \]
\[ \frac{{{E}_{k}}}{{{E}_{p}}}={{tg}^{2}}\left( \frac{2\pi }{T}t \right) \]

[Kivir]

746. Пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на x = 6,5 см. Если после этого груз оттянуть вниз, а затем отпустить, то он начнет колебаться вдоль вертикальной оси. Определить период этих колебаний.
Решение: на подвешенный груз действуют две силы: вниз - сила тяжести (mg) и вверх - сила упругости (F = k∙x), возникающая при деформации пружины. В положении равновесия эти силы равны по модулю (сумма сил, действующих на тело должна быть равна нулю).
 

mg= k∙x,  m/k = x/g.∙

тогда искомый период колебаний получившегося пружинного маятника:

\[ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{x}{g}} \]

T = 0,5 с.

[djeki]

743. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению
 \[ x=2\cos \left( \frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{4} \right) \]
в котором все величины заданы в единицах СИ. Найти период колебаний, амплитуду и начальную фазу.
Решение
Зависимость координаты гармонически колеблющейся точки от времени описывается уравнением

x = x_mcos(ωt+φ₀)

где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t, x_m – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, φ₀ – начальная фаза.
Сопоставляя с ним заданное уравнение, находим, что амплитуда x_m = 2 м, начальная фаза φ₀ = π/4.
Циклическая частота
 \[ \omega =\frac{2\cdot \pi }{T} \]
Т = 2 с
Ответ: Т = 2 с; x_m = 2 м; φ₀ = π/4.

[djeki]

747. Шарик, подвешенный на пружине, сместили на расстояние а = 0,01 м вниз от положения равновесия и отпустили. Какой путь пройдет шарик за t = 2 с, если частота колебаний этой системы v = 5 Гц? Затуханием пренебречь.
Решение.
За одно колебание шарик пройдет путь S₀ = 4·а.
Частота колебаний – количество колебаний в единицу времени
 \[ \nu =\frac{N}{t};N=\nu \cdot t \]
Тогда пройденный путь

S = S₀·N = 4·a·ν·t

Ответ S = 0,4 м

[djeki]

748. Груз массой m = 400 г, подвешенный на пружине жесткостью k = 250 Н/м, совершает колебания с амплитудой  хm = 15 см. Найти наибольшую скорость груза.
Решение.
При колебаниях груза на пружине происходит превращение потенциальной энергии деформированной пружины в кинетическую энергию движения груза.
\[ {{E}_{p\max }}={{E}_{k\max }};\frac{k\cdot x_{m}^{2}}{2}=\frac{m\cdot \upsilon _{m}^{2}}{2};\upsilon =x\sqrt{\frac{k}{m}} \]