Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

790	791	792	793	794	795	796	797	798	799
800	801	802	803	804	805	806	807	808	809
810	811	812	813	814	815	816	817

[alsak]

791. Определить длину волны, на которую настроен приемник, если его приемный контур обладает индуктивностью L = 0,003 Гн и емкостью С = 10 мкФ. Скорость электромагнитных волн в вакууме с = 3∙10⁸ м/с.

Решение. Условие приема волны — равенство частоты волны ν_b и частоты колебательного (приемного) контура ν_k, т.е.

ν_b = ν_k или

\[T_{b} =T_{k} =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\]
Длина волны
\[\lambda _{b} = c \cdot T_{b}= c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C},\]
λ_b = 3,3∙10⁵ м.

[alsak]

800. Зависимость силы тока от времени в колебательном контуре описывается уравнением i = 0,1∙sin(300π∙t) А. Найти индуктивность контура, если максимальная энергия электростатического поля конденсатора W_{m e} = 0,005 Дж.

Решение. Зная уравнение колебаний силы тока, можно найти амплитуду силы тока I_m. Уравнение гармонического колебания силы тока в общем виде:

i = I_m∙sin(ω∙t + φ₀).

Тогда из уравнения i = 0,1∙sin(300π∙t) получаем амплитуду силы тока I_m = 0,1 А. Амплитуда колебаний силы тока, индуктивность контура и максимальная энергия магнитного поля катушки W_{m m} связаны следующим соотношением:
\[W_{m\; m} =\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} .\]
Так как по закону сохранения энергии для колебательного контура максимальная энергия магнитного поля катушки W_{m m} и максимальная энергия электростатического поля конденсатора W_{m e} равны, то
\[W_{m\; e} =W_{m\; m} =\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} ,\; \; L=\frac{2W_{m\; e} }{I_{m}^{2} } ,\]
L = 1 Гн.

[alsak]

799. Катушка индуктивности подключена к конденсатору, заряд которого q = 2,5∙10^–10 Кл. В образованном контуре возникли свободные электромагнитные колебания, частота которых ν = 4∙10⁷ Гц. Определить максимальную силу электрического тока, проходящего через катушку. Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение. Так как катушку подключают к конденсатору с зарядом q, то q = Q_m — это максимальный заряд колебательного контура. Максимальный заряд Q_m и максимальная сила тока I_m можно связать через полную энергию колебательного контура W, максимальную энергию электростатического поля конденсатора W_{m e} и максимальную энергию магнитного поля катушки W_{m m}:
\[W=W_{m\; e} =W_{m\; m}, \; \; \; \frac{Q_{m}^{2}}{2C} =\frac{L\cdot I_{m}^{2}}{2}. \; \; \; (1)\]
Частота колебательного контура равна:
\[\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}. \; \; \; (2)\]

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[\sqrt{L\cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu }, \; \; \; I_{m} =\frac{Q_{m}}{\sqrt{L\cdot C}} =2\pi \cdot \nu \cdot q,\]
I_m = 6,3∙10^–2 А.

[alsak]

792. Контур радиоприемника настроен на частоту ν₁ = 9 МГц. Как нужно изменить электроемкость переменного конденсатора этого контура, чтобы приемник был настроен на длину волны λ₂ = 50 м? Скорость электромагнитных волн в вакууме с = 3∙10⁸ м/с.

Решение. Контур радиоприемника — это обычный колебательный контур, частота электромагнитных колебаний в котором равна:
\[\nu =\frac{1}{T} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}. \; \; \; (1)\]
Условие приема волны — равенство частоты волны ν_b и частоты колебательного (приемного) контура ν_k, т.е.

ν_b = ν_k или T_b = T_k.

Длина волны
\[\lambda _{b} =c\cdot T_{b} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}. \; \; \; (2)\]

По условию в приемном контуре электроемкость конденсатора изменяется. Пусть вначале электроемкость была C₁ и частота контура равнялась ν₁ (см. уравнение (1)), затем электроемкость стала C₂, и приемник стал ловить волны с длиной λ₂ (см. уравнение (2)). С учетом этого перепишем уравнения (1) и (2) и найдем во сколько раз C₂ больше C₁:
\[\begin{array}{c} {\nu _{1} =\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}}}, \; \; \; \lambda _{2} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}},} \\ {\nu _{1} \cdot \lambda _{2} =\frac{c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2} } }{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1} } } =\frac{c\cdot \sqrt{C_{2}}}{\sqrt{C_{1}}}, \; \; \; \frac{C_{2} }{C_{1} } =\left(\frac{\nu _{1} \cdot \lambda _{2} }{c} \right)^{2}, \; \; \; \frac{C_{2} }{C_{1} } =2,25.} \end{array}\]
Ответ. Увеличить в 2,25 раза.

[alsak]

798. В колебательном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора Q_m = 1∙10–6 Кл, а максимальная сила тока I_m = 10 А, найти, на волну какой длины настроен контур. Скорость электромагнитных волн с = 3∙10⁸ м/с.

Решение. Полная энергия колебательного контура равна:
\[W=\frac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\frac{Q_{m}^{2}}{2C}. \; \; \; (1)\]
Контур радиоприемника — это колебательный контур. Условие приема волны — равенство частоты волны ν_b и частоты колебательного (приемного) контура ν_k, т.е.

ν_b = ν_k или

\[T_{b} =T_{k} =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C} .\]
Тогда длина волны равна
\[\lambda _{b} =c\cdot T_{b} =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C} .\; \; \; (2)\]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[L\cdot C=\frac{Q_{m}^{2} }{I_{m}^{2} } ,\; \; \; \lambda _{b} =c\cdot 2\pi \cdot \frac{Q_{m} }{I_{m} } ,\]
λ = 188 м.

[andrey]

793, 814, 795, 796

[djek]

793 После зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения ключ К переключают на катушку индуктивностью L₁ (рис. 249).
В контуре возникают гармонические колебания с амплитудой силы тока I_m1. Опыт повторяют по прежней схеме, заменив катушку на другую, индуктивностью L₂= 2L₁. Найти амплитуду силы тока I_m2 для второго случая.
Решение
При переключении ключа, в контуре возникнут колебания, период которых определяется формулой Томсона
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \]
где L – индуктивность катушки, С – электроемкость конденсатора.
Зависимость заряда q на обкладках конденсатора от времени имеет вид

q = q_m·cos(ω₀·t)

Cила тока является производной от заряда

I=q’(t) = - q_m· ω₀·sin(ω₀·t)

где
I_m= q_m· ω₀;
ω₀ – циклическая частота колебаний
\[ \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} \\
 & {{I}_{m1}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}=\frac{{{q}_{m}}}{\sqrt{{{L}_{1}}\cdot C}} \\
 & {{I}_{m2}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}=\frac{{{q}_{m}}}{\sqrt{2\cdot {{L}_{1}}\cdot C}} \\
 & {{I}_{m2}}=\frac{{{I}_{m1}}}{\sqrt{2}} \\
\end{align}
 \]

[djek]

795. Колебательный контур содержит катушку и конденсатор. Во сколько раз увеличится период собственных колебаний в контуре, если параллельно конденсатору подключить еще три таких же конденсатора?
Решение
Период колебаний в контуре определяется формулой Томсона
\[ T=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \]
где L – индуктивность катушки, С – электроемкость конденсатора.
В случае, когда соединены параллельно n одинаковых конденсаторов емкостью С₀ каждый, то общая емкость равна

С = n·С₀

С учетом этого запишем период колебаний в контуре для случая с одним конденсатором и в случае присоединения параллельно еще трех таких же
\[ \begin{align}
  & {{T}_{1}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C} \\
 & {{T}_{2}}=2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot 4\cdot C} \\
 & \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=\frac{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot 4\cdot C}}{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}=2 \\
\end{align}
 \]

[djek]

796. В колебательном контуре с емкостью С и индуктивностью L совершаются свободные незатухающие колебания. Известно, что максимальное напряжение на конденсаторе равно U_m. Найти максимальную силу тока в контуре.
Решение
Амплитудное значение напряжения на обкладках конденсатора

U_m= q_m/C

где q_m – амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора; C – емкость конденсатора.
Зависимость заряда q на обкладках конденсатора от времени имеет вид

q = q_m·cos(ω₀·t)

Cила тока является производной от заряда

I=q’(t) = - q_m· ω₀·sin(ω₀·t)

где

I_m= q_m· ω₀;

ω₀ – циклическая частота колебаний

q_m = U_m·С

\[ \begin{align}
  & {{\omega }_{0}}=\frac{2\cdot \pi }{T}=\frac{2\cdot \pi }{2\cdot \pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}=\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}} \\
 & {{I}_{m}}={{q}_{m}}\cdot {{\omega }_{0}}={{U}_{m}}\cdot C\cdot \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}={{U}_{m}}\cdot \sqrt{\frac{C}{L}} \\
\end{align}
 \]