Электромагнитные колебания и волны из сборника Савченко Н.Е.

[djek]

814. Первичная обмотка силового трансформатора для накала радиолампы имеет n₁ = 2200 витков и включена в сеть с действующим значением напряжения U₁= 220 В. Сколько витков должна иметь вторичная обмотка, если ее активное сопротивление r = 0,50 Ом, а напряжение накала лампы U₂ = 3,5 В при силе тока накала I = 1 А?
Решение
По определению коэффициента трансформации:
\[ \begin{align}
  & k=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}} \\
 & {{n}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{2}}\cdot {{n}_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}} \\
\end{align}
 \]
где n₁, n₂ – количество витков соответственно в первичной и вторичной обмотках; ε₁, ε₂ – ЭДС индукции в первичной и вторичной обмотках соответственно.
Не принимая во внимание активной сопротивление первичной обмотки, имеем:

ε₁ = U₁

Для вторичной обмотки трансформатора по закону Ома для замкнутой цепи можно написать:

ε₂ = I₂ ·R₂ + I₂ ·r

где ε₂,I₂ – действующие значения ЭДС индукции и силы тока во вторичной обмотке, R₂ – сопротивление нагрузки, r – сопротивление вторичной обмотки
Учитывая, что

U₂ = I₂ ·R₂
ε₂ = U₂ + I₂ ·r

Как результат
\[ {{n}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{2}}\cdot {{n}_{1}}}{{{\varepsilon }_{1}}}=\frac{({{U}_{2}}+{{I}_{2}}\cdot r)\cdot {{n}_{1}}}{{{U}_{1}}} \]

[Kivir]

790. Катушка индуктивностью L = 3 ∙ 10^–5 Гн присоединена к плоскому конденсатору, площадь каждой пластины которого S = 100 см². Расстояние между пластинами конденсатора d = 0,1 мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство конденсатора, если контур резонирует на волну длиной λ = 750 м? Скорость электромагнитных волн в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с.
Решение: резонансная длина волны, на которую настроен колебательный контур, определяется следующим образом
\[ \lambda =c\cdot T=c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
здесь учли, что период электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона, С – ёмкость плоского конденсатора, которую легко определить, зная его размеры
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}, \]
где ε₀ = 8,85 ∙ 10^–12 Ф/м – электрическая постоянная, ε – искомая диэлектрическая проницаемость среды. После подстановки, имеем
\[ \begin{array}{l} {\lambda =c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}},} \\ {\varepsilon =\frac{d\cdot \lambda ^{2}}{4\pi ^{2} \cdot \varepsilon _{0} \cdot c^{2} \cdot L\cdot S}.} \end{array} \]
Ответ:6.

[Kivir]

794. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 мкГн и переменного конденсатора, ёмкость которого может изменяться от C₁ = 50 пФ до C₂ = 450 пФ. Какой диапазон частот и длин волн можно охватить настройкой этого контура? Скорость электромагнитных волн в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с.
Решение: длина волны, на которую настроен колебательный контур, определяется следующим образом
\[ \lambda =c\cdot T=c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
здесь учли, что период электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона, С – ёмкость конденсатора.
Тогда диапазон длин волн
\[ \begin{array}{l} {\lambda _{1} \le \lambda \le \lambda _{2},} \\ {c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}} \le \lambda \le c\cdot 2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}}.} \end{array} \]
Диапазон частот (учтём, что частота обратно пропорциональна периоду колебаний ν = 1/T ),тогда
\[ \begin{array}{l} {\nu _{2} \le \nu \le \nu _{1},} \\ {\frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{2}}} \le \nu \le \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C_{1}}} .} \end{array} \]
Ответ: от ν₂ = 1,7 ∙ 10⁷ Гц  до ν₁ = 5 ∙ 10⁷ Гц, от λ₁ = 6 м  до  λ₂ = 17,9 м.

[Kivir]

797. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и конденсатора, обкладки которого  - две круглые пластины диаметром D = 20 см каждая. Расстояние между пластинами d = 1 см. Определить период колебаний контура, если пространство между пластинами заполнено плексигласом, диэлектрическая проницаемость которого ε = 3. Электрическая постоянная ε₀ = 8,85 ∙ 10^–12 Ф/м .
Решение: период свободных электромагнитных колебаний T в контуре определяется по формуле Томсона,
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \]
где С – ёмкость плоского конденсатора, которую легко определить, зная его размеры
\[ C=\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d}, \]
здесь S – площадь пластины конденсатора, которую определим по формуле площади круга, зная диаметр D
\[ S=\frac{\pi \cdot D^{2}}{4}. \]
Тогда период колебаний
\[ \begin{array}{l} {T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot S}{d} } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot \frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \pi \cdot D^{2} }{4d} } ,} \\ {T=\pi \cdot D\cdot \sqrt{\frac{\varepsilon _{0} \cdot \varepsilon \cdot \pi \cdot L}{d} } .} \end{array} \]
Ответ: 1,8 ∙10^–6 ≈ 2 ∙ 10^–6 с.

[Kivir]

801. К источнику тока подключена катушка индуктивностью L = 0,81 Гн и резистор сопротивлением R = 25 Ом (рис. 250). Сразу после размыкания ключа К в резисторе выделяется тепловая мощность P = 100 Вт. Сопротивление обмотки катушки пренебрежимо мало. Какое количество теплоты выделится в резисторе  к моменту исчезновения тока в цепи?
Решение: т.к. сопротивление обмотки катушки пренебрежимо мало, то при замкнутом ключе ток шёл только через катушку. Пусть в момент размыкания ключа ток через катушку был I. Тогда энергия магнитного поля катушки была равна
\[ W=\frac{L\cdot I^{2} }{2}. \]
После размыкания ключа возникнут затухающие электромагнитные колебания и, по закону сохранения и превращения энергии, количество выделившегося тепла в резисторе Q по модулю будет равно энергии магнитного поля, т.е.

Q = W.

Воспользуемся законом Джоуля – Ленца и определим время протекания тока I через резистор
\[ \begin{array}{l} {I^{2} \cdot R\cdot t=\frac{L\cdot I^{2}}{2},} \\ {t=\frac{L}{2R}.} \end{array} \]
С другой стороны, выделившееся количество теплоты определим через тепловую мощность P и время t
\[ Q=Pt=\frac{P\cdot L}{2R}. \]
Ответ: 1,6 Дж.

alsak: Здесь нельзя использовать закон Джоуля-Ленца для нахождения времени, т.к. сила тока в цепи будет меняться. Надо найти силу тока I через мощность P в момент размыкания:
\[P=I^{2} \cdot R,\; \; \; I^{2} =\frac{P}{R},\]
и подставить в формулу энергии W.  Конечная формула и ответ останутся теми же.

[Kivir]

803. Рамка площадью S = 1 дм² из проволоки сопротивлением R = 0,45 Ом вращается с угловой скоростью ω = 100 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл. Ось вращения рамки лежит в её плоскости и перпендикулярна вектору магнитной индукции B. Определить количество теплоты Q, которое выделится в рамке за N = 1000 оборотов. Самоиндукцией пренебречь.
Решение: при вращении рамки в магнитном поле в ней возникает ЭДС индукции, что приводит к возникновению индукционного тока. Количество теплоты, выделившееся в рамке, определим, воспользовавшись законом Джоуля – Ленца
\[ Q=I^{2} \cdot R\cdot t, \]
здесь I – действующее значение силы тока, t – время.
Пусть в начальный момент угол α между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции равен нулю, тогда магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется по закону
\[ \Phi =B\cdot S\cdot \cos \alpha =B\cdot S\cdot \cos \left(\omega \cdot t\right), \]
ЭДС индукции равна первой производной от магнитного потока по времени, взятой со знаком «минус» (закон электромагнитной индукции)
\[ E_{i} =-\Phi '=B\cdot S\cdot \omega \cdot \sin \left(\omega \cdot t\right). \]
Т.к.  наибольшее значение синуса – единица, то максимальное значение ЭДС E_m равно
\[ E_{m} =B\cdot S\cdot \omega. \]
Тогда, по закону Ома, максимальное значение силы тока в рамке
\[ I_{m} =\frac{E_{m} }{R} =\frac{B\cdot S\cdot \omega}{R}. \]
Действующее значение силы тока в цепи
\[ I=\frac{I_{m} }{\sqrt{2}} =\frac{B\cdot S\cdot \omega }{\sqrt{2} \cdot R}. \]
Время t, за которое рамка сделает N оборотов, определим через период вращения T  (время одного оборота) и угловую скорость ω = 2π/T, т.е.
\[ \begin{array}{l} {T=\frac{t}{N} =\frac{2\pi }{\omega } ,} \\ {t=\frac{2\pi \cdot N}{\omega }.} \end{array} \]
Таким образом, количество теплоты будет равно
\[ \begin{array}{l} {Q=\left(\frac{B\cdot S\cdot \omega }{\sqrt{2} \cdot R} \right)^{2} \cdot R\cdot \frac{2\pi \cdot N}{\omega },} \\ {Q=\frac{\pi \cdot \omega \cdot N\cdot B^{2} \cdot S^{2} }{R}.} \end{array} \]
Ответ: 0,7 Дж.

[Kivir]

804. Напряжение зажигания неоновой лампы U_з = 80 В, напряжение гашения U_г = 70 В. Вольтметр показывает, что в сети переменного тока напряжение U = 60 В. Будет ли лампочка гореть в этой сети?
Решение: вольтметр показывает действующее (эффективное) значение напряжения в сети переменного тока. Напряжение в сети меняется по сину-соидальному закону и максимальное (амплитудное) значение напряжения связано с действующим следующим образом
U_m = U ∙ √2 = 60 ∙ 1,41 ≈ 85 В.
Получаем, что U_m>U_з, поэтому лампа в сети гореть будет.

[Kivir]

805. В сеть переменного тока с действующим значением напряжения U = 220 В и частотой ν = 50 Гц последовательно включены  резистор сопротивлением R = 200 Ом, катушка индуктивностью L = 40 мГн и конденсатор ёмкостью C = 80 мкФ. Найти индуктивное, ёмкостное и полное сопротивления цепи, а также действующее и амплитудное значения силы тока.
Решение: циклическая частота ω = 2π∙ν.
Индуктивное сопротивление катушки индуктивностью L
\[ X_{L} =\omega \cdot L=2\pi \cdot \nu \cdot L.  \]
Ёмкостное сопротивление конденсатора ёмкостью C
\[ X_{C} =\frac{1}{\omega \cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Полное сопротивление последовательной цепи переменного тока
\[ Z=\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}. \]
Действующее значение силы тока определим по закону Ома
\[ I=\frac{U}{Z} =\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}}. \]
Амплитудное значение силы тока связано с действующим значением
\[ I_{m} =I\cdot \sqrt{2}. \]
Ответ: 13 Ом; 40 Ом; 202 Ом;1,1 А; 1,5 А.

[Kivir]

806. Резистор сопротивлением R = 30 Ом включён последовательно с конденсатором в сеть переменного тока с действующим значением напряжения U = 220 В и частотой ν = 50 Гц. Амплитуда силы тока в цепи I_m = 2 А. Найти ёмкость конденсатора.
Решение: циклическая частота ω = 2π∙ν.
Ёмкостное сопротивление конденсатора ёмкостью C
\[ X_{C} =\frac{1}{\omega \cdot C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Полное сопротивление цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединённых конденсатора и резистора
\[ Z=\sqrt{R^{2} +X_{C}^{2}}. \]
С  другой стороны, полное сопротивление определим по закону Ома
\[ Z=\frac{U}{I} =\frac{U\cdot \sqrt{2} }{I_{m}}, \]
здесь учли, что амплитудное значение силы тока связано с действующим значением I следующим образом:
\[ I_{m} =I\cdot \sqrt{2}. \]
Приравняем полученные выражения для полного сопротивления, возведём обе части равенства в квадрат, подставим выражение для ёмкостного сопротивления и выразим искомую ёмкость конденсатора
\[ \begin{array}{l} {R^{2} +X_{C}^{2} =\frac{2\cdot U^{2} }{I_{m}^{2} } ,} \\ {R^{2} +\frac{1}{4\pi ^{2} \cdot \nu ^{2} \cdot C^{2} } =\frac{2\cdot U^{2} }{I_{m}^{2} } ,} \\ {C=\frac{I_{m} }{2\pi \cdot \nu \cdot \sqrt{2\cdot U^{2} -I_{m}^{2} \cdot R^{2}}}.} \end{array}  \]
Ответ:  2 ∙ 10^–5 Ф.

[Kivir]

807. К источнику переменного напряжения с действующим значением U = 100 В и частотой ν = 500 Гц подключена цепь, состоящая из последовательно включённых резистора сопротивлением R = 20 Ом, катушки, индуктивность которой L = 40 мГн, и конденсатора ёмкостью C = 12 мкФ. Найти силу тока в цепи и показания вольтметра на каждом элементе цепи.
Решение: силу тока определим по закону Ома
\[ I=\frac{U}{Z} =\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(X_{L} -X_{C} \right)^{2}}}. \]
Здесь  X_L - индуктивное сопротивление катушки
\[ X_{L} =2\pi \cdot \nu \cdot L. \]
X_C - ёмкостное сопротивление конденсатора
\[ X_{C} =\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C}. \]
Тогда сила тока в цепи
\[ I=\frac{U}{\sqrt{R^{2} +\left(2\pi \cdot \nu \cdot L-\frac{1}{2\pi \cdot \nu \cdot C} \right)^{2}}}. \]
При последовательном соединении сила тока во всех элементах цепи одинакова. Напряжение на элементах цепи, по закону Ома, равно произведению силы тока на сопротивление элемента, т.е.
\[ \begin{array}{l} {U_{R} =I\cdot R,} \\ {U_{L} =I\cdot X_{L} =I\cdot 2\pi \cdot \nu \cdot L,} \\ {U_{C} =I\cdot X_{C} =\frac{I}{2\pi \cdot \nu \cdot C}.} \end{array}  \]
Ответ: 0,99 А; 19,8 В; 124,3 В; 26,3 В  соответственно.