869. Линза с фокусным расстоянием
F = 3 см создаёт перевёрнутое изображение предмета. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения отличаются на
l = 8 см. С каким увеличением изображён предмет.
Решение: проанализируем ситуацию. Линза, явно, собирающая и изображение, о котором идёт речь в условии задачи – действительное (собирающая линза даёт всегда перевёрнутое действительное изображение, прямое изображение в собирающей линзе – мнимое, а рассеивающая линза всегда даёт прямое, мнимое изображение). Запишем формулу тонкой линзы (с учётом правила знаков):
\[ \frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{f}. \]
Здесь
d – искомое расстояние между предметом и линзой,
f –расстояние между линзой и изображением. По условию задачи,
d и
f отличаются на
l. Тогда возможны два случая:
d < f , тогда изображение, создаваемое линзой, будет увеличенным, и
d > f ,при этом изображение будет уменьшенным. Увеличение линзы определим через
d и
f :
\[ \Gamma =\frac{f}{d}. \]
Рассмотрим первый случай:
d < f, тогда:
f – d = l, f = l + d.
Подставим в формулу линзы, и определим
d (правда для этого придётся решить квадратное уравнение, отрицательный корень которого откинем – расстояние не может быть отрицательным). Например:
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} +\frac{1}{l+d} ,\frac{1}{F} =\frac{l+2d}{d\cdot \left(l+d\right)} ,} \\ {d\cdot l+d^{2} =F\cdot l+2d\cdot F,} \\ {d^{2} +\left(l-2F\right)\cdot d-F\cdot l=0.} \end{array} \]
Дискриминант и положительный корень уравнения:
\[ \begin{array}{l} {D=\left(l-2F\right)^{2} -4\cdot \left(-F\cdot l\right)=l^{2} +4F^{2} ,} \\ {d=\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2} .} \end{array} \]
Тогда расстояние
f:
\[ f=l+d=\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2}}}{2}. \]
Искомое увеличение линзы (ответ):
\[ \Gamma =\frac{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =3. \]
Во втором случае:
d > f, тогда:
d – f = l, f = d – l .
Подставляя в формулу линзы и проведя аналогичные выкладки, получим ответ:
\[ \Gamma =\frac{2F-l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } }{2F+l+\sqrt{l^{2} +4F^{2} } } =\frac{1}{3}. \]
