Линзы из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

864. Предмет и его прямое изображение, создаваемое тонкой линзой, расположены симметрично относительно фокуса линзы. Расстояние от предмета до фокуса линзы l = 4,0 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: возможно два варианта – линза собирающая, изображение мнимое, либо линза рассеивающая, и изображение также мнимое. Пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом, F – фокусное расстояние линзы. Рассмотрим оба случая по порядку.
Линза собирающая. Изображение будет прямым (и мнимым) только в одном случае – если расстояние между линзой и предметом меньше фокусного, т.е. d < F. Тогда d = F – l и  f = F + l. Подставим в формулу тонкой линзы, и после преобразований получим квадратное уравнение
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} =\frac{1}{F-l} -\frac{1}{F+l} =\frac{2l}{F^{2} -l^{2} } ,} \\ {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0.} \end{array} \]
Линза рассеивающая. Изображение прямое (мнимое, и при этом симметричное предмету относительно фокуса) может быть только в одном случае – если расстояние между линзой и предметом больше фокусного, т.е. d > F. Тогда d = F + l и  f = F – l. Подставим в формулу тонкой линзы, и после преобразований получим квадратное уравнение
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} =\frac{1}{F+l} -\frac{1}{F-l} =\frac{-2l}{F^{2} -l^{2} } ,} \\ {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0.} \end{array} \]
Как видим, в обоих случаях получились одинаковые уравнения. Найдём корни этого уравнения и учтём, что F величина неотрицательная (правило знаков учли, при записи формулы линзы), т.е оставим только положительный корень квадратного уравнения
\[ \begin{array}{l} {F^{2} -2l\cdot F-l^{2} =0,} \\ {D=4l^{2} +2l^{2} =8l^{2} ,} \\ {F_{1,2} =\frac{2l\pm 2\sqrt{2} \cdot l}{2} =\left(1\pm \sqrt{2} \right)\cdot l,} \\ {F=\left(1+\sqrt{2} \right)\cdot l.} \end{array} \]
Так как принято считать фокусное расстояние рассеивающих линз величиной отрицательной, а у собирающих – положительной, то объединяя два случая, получаем
\[ F=\pm \left(1+\sqrt{2} \right)\cdot l. \]
Ответ: ± 9,6 см.  (√2 ≈ 1,41)

[alsak]

866. Найти фокусное расстояние и оптическую силу двояковогнутой линзы, если расстояние от линзы до предмета d = 36 см, а до изображения f = 9,0 см.
Решение: двояковогнутая линза является рассеивающей. Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение  в рассеивающей линзе – мнимое)
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Таким образом, с учётом того, что D = 1 / F, получим
\[ F=\frac{d\cdot f}{d-f} ,{\rm \; \; \; }D=\frac{f-d}{d\cdot f}. \]
Ответ: 12 см, –8,3 дптр.

[alsak]

867. Расстояние от предмета до экрана L = 105 см. Тонкая линза, помещённая между ними, даёт на экране увеличенное изображение предмета. Если линзу переместить на l = 32 см, то на экране получится уменьшенное изображение предмета. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили увеличенное изображение, пододвинули к экрану для получения четкого уменьшенного изображения предмета (расстояние между предметом и линзой должно стать больше двойного фокусного, только в этом случае будет уменьшенное изображение предмета). Тогда

l = d₂ – d₁,

где d₂ и d₁ – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f₁ и f₂ соответственно, тогда

L = d₁ + f₁ = d₂ + f₂.

Вследствие принципа обратимости лучей (мы им можем пользоваться т.к. положение предмета и экрана не менялось)

f₂ = d₁;   f₁ = d₂.

Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =l,} \\ {d_{2} +d_{1} =L} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{L+l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{L-l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{L-l} +\frac{2}{L+l} =\frac{4L}{L^{2} -l^{2} } ,} \\ {F=\frac{L^{2} -l^{2} }{4L} .} \end{array} \]
Ответ: 23,8 ≈ 24 см.

[alsak]

868. С помощью собирающей линзы на экране получено уменьшенное действительное изображение плоского предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Высота предмета h = 6 см, высота изображения H₁ = 4 см. Оставляя экран и предмет неподвижными, линзу перемещают в сторону предмета до тех пор, пока не получат второе резкое изображение предмета. Определить высоту второго изображения.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули к предмету для получения второго четкого изображения предмета. Пусть d₂ и d₁ – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях, а расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны  f₁ и f₂ соответственно.
Вследствие принципа обратимости световых лучей

d₁ = f₂;   f₁ = d₂.

Тогда получаем систему уравнений на основании формулы увеличения
\[ \left\{\begin{array}{l} {\frac{H_{1} }{h} =\frac{f_{1} }{d_{1} } ,} \\ {\frac{H_{2} }{h} =\frac{f_{2} }{d_{2} } } \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }\frac{H_{1} \cdot H_{2} }{h^{2} } =\frac{f_{1} \cdot f_{2} }{d_{1} \cdot d_{2} } =1. \]
Откуда
\[ H_{2} =\frac{h^{2} }{H_{1}}. \]
Ответ: 9 см.

[alsak]

870. Изображение предмета, удалённого от собирающей линзы на расстояние d = 0,4 м, больше предмета в Γ = 5 раз. Найти возможные значения оптической силы линзы.
Решение: запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза собирающая, изображение действительное либо мнимое) и увеличения
\[ D=\frac{1}{d} \pm \frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{H}{h}, \]
здесь H = Γ∙h – высота изображения, h – высота предмета. Тогда
\[ \begin{array}{l} {f{\rm =}\Gamma \cdot d,} \\ {D=\frac{1}{d} \pm \frac{1}{\Gamma \cdot d} =\frac{\Gamma \pm 1}{\Gamma \cdot d} .} \end{array} \]
Ответ: 3 дптр, 2 дптр.

[alsak]

871. Расстояние от освещённого предмета до экрана L = 100 см. Линза, помещённая между ними, даёт чёткое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми l = 20 см. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение: согласно условию задачи, положение предмета и экрана не меняется, а перемещают линзу. Пусть линзу, после того, как получили первое четкое изображение, пододвинули к экрану для получения второго четкого изображения предмета. Тогда

l = d₂ – d₁,

где d₂ и d₁ – расстояние между предметом и линзой во втором и первом положениях. Расстояние между линзой и изображением в первом и втором положениях равны f₁ и f₂ соответственно, тогда

L = d₁ + f₁ = d₂ + f₂.

Вследствие принципа обратимости лучей

f₂ = d₁;   f₁ = d₂.

Тогда получаем систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l} {d_{2} -d_{1} =l,} \\ {d_{2} +d_{1} =L} \end{array}\right. {\rm \; \; }\Rightarrow {\rm \; \; }d_{2} =\frac{L+l}{2} ;{\rm \; \; }d_{1} =\frac{L-l}{2}. \]
Подставим в формулу тонкой линзы
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{F} =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{f_{1} } =\frac{1}{d_{1} } +\frac{1}{d_{2} } =\frac{2}{L-l} +\frac{2}{L+l} =\frac{4L}{L^{2} -l^{2} } ,} \\ {F=\frac{L^{2} -l^{2} }{4L} .} \end{array} \]
Ответ: 24 см.

[alsak]

873. Тонкая линза создаёт изображение небольшого предмета, находящегося в её фокальной плоскости и установленного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Определить высоту предмета, если высота изображения H = 0,70 см.
Решение: изображение предмета, находящегося в фокальной плоскости, может дать только рассеивающая линза (изображение при этом будет мнимым). Собирающая линза изображения не даст, т.к. после прохождения линзы лучами, идущими к ней из точки в фокальной плоскости, лучи пойдут параллельно друг другу (изображение как бы будет в бесконечности). Пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом, которое равно фокусному расстоянию (предмет расположен в фокальной плоскости), т.е. d = F, F – фокусное расстояние линзы, h – высота предмета (её требуется определить). Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое)
\[ -\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f}. \]
Откуда расстояние между линзой и изображением
\[ \begin{array}{l} {\frac{1}{f} =\frac{1}{d} +\frac{1}{F} =\frac{1}{F} +\frac{1}{F} =\frac{2}{F} ,} \\ {f=\frac{F}{2}.} \end{array} \]
Из формулы увеличения, определим высоту предмета
\[ \begin{array}{l} {{\rm \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{H}{h} ,} \\ {h=\frac{d\cdot H}{f} =\frac{F\cdot H\cdot 2}{F} =2\cdot H.} \end{array} \]
Ответ: 1,4 см.

[alsak]

874. На каком расстоянии от рассеивающей линзы с оптической силой D = –5 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = 4 раза меньше самого предмета?
Решение: пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом. По условию задачи изображение меньше предмета в k раз, значит увеличение Γ = 1 / k. Запишем формулы: линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое) и увеличения
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }\Gamma {\rm =}\frac{f}{d} =\frac{1}{k} ,} \\ {D=\frac{1}{d} -\frac{k}{d} ,{\rm \; \; \; \; \; }d=\frac{\left(k-1\right)}{\left|D\right|} .} \end{array} \]
Ответ: 0,6 м.

[alsak]

875. В осколок тонкостенной стеклянной сферической колбы, радиус кривизны которой R = 10 см, налили прозрачную жидкость. С помощью полученной линзы действительное изображение предмета, помещённого над ней на расстоянии d = 1,0 м, получилось уменьшенным в k = 5,0 раз. Определить показатель преломления жидкости.
Решение: т.к. колба тонкостенная, то влиянием стекла на прохождение лучей сквозь полученную линзу пренебрегаем. Линза является плоско-выпуклой, т.е. собирающей. Оптическая сила D линзы может быть рассчитана по формуле
\[ D=\left(\frac{n_{1} }{n_{2} } -1\right)\cdot \left(\frac{1}{R_{1} } +\frac{1}{R_{2} } \right), \]
где n₁ = n – показатель преломления вещества линзы (искомый показатель преломления жидкости), n₂ = 1 – показатель преломления окружающей среды (воздух), R₁ = R и R₂ = ∞ - радиусы кривизны поверхностей линзы. Тогда
\[ D=\frac{n-1}{R}. \]
Из формулы тонкой линзы и её увеличения имеем
\[ \begin{array}{l} {D=\frac{1}{d} +\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; }f=d\Gamma =\frac{d}{k} ,} \\ {D=\frac{k+1}{d} ,} \end{array} \]
здесь учли, что изображение уменьшено в k раз, значит Γ = 1 / k.
Приравняв полученные выражения для D, определим показатель преломления прозрачной жидкости, из которой сделана линза
\[ \begin{array}{l} {\frac{n-1}{R} =\frac{k+1}{d} ,} \\ {n=\frac{k+1}{d} \cdot R+1.} \end{array} \]
Ответ: 1,6.

[alsak]

876. Мнимое изображение предмета в рассеивающей линзе находится от неё на расстоянии в k = 3 раза меньшем, чем предмет. Найти расстояние от линзы до изображения, если фокусное расстояние F линзы известно.
Решение: пусть f – расстояние от линзы до изображения, d – расстояние между линзой и предметом. По условию задачи d = k∙f. Запишем формулу линзы (с учётом правила знаков – линза рассеивающая, изображение мнимое)
\[ \begin{array}{l} {-\frac{1}{F} =\frac{1}{d} -\frac{1}{f} ,{\rm \; \; \; \; \; }-\frac{1}{F} =\frac{1}{k\cdot f} -\frac{1}{f} ,} \\ {f=\frac{\left(k-1\right)}{k} \cdot F.} \end{array} \]
Ответ: 2F / 3.