Световые волны из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

	901	902	903	904	905	906	907	908	909
910	911

[djek]

911. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматическим светом. Главный максимум второго порядка наблюдается под углом φ1 = 10°. Под каким углом наблюдается максимум третьего порядка?
Решение
Если на дифракционную решетку падает нормально плоская монохроматическая волна, то на экране возникает интерференционная картина и максимумы света наблюдаются под углами φ, для которых

d·sinφ=m·λ, где m=0,плюс-минус (1, 2, 3…)- порядок максимумов

Для максимума второго и третьего порядка соответственно

d·sinφ₁=2·λ;
d·sinφ₂=3·λ

Разделим второе уравнение на первое
\[ \begin{align}
  & \sin {{\varphi }_{2}}=\frac{3}{2}\cdot \sin {{\varphi }_{1}} \\
 & {{\varphi }_{2}}=ark\sin \left( \frac{3}{2}\cdot \sin {{\varphi }_{1}} \right) \\
\end{align}
 \]

[Екатерина1]

902, 905, 908, 909

[Kivir]

905. Объектив фотоаппарата покрыт слоем прозрачной плёнки толщиной d = 0,525 мкм. Обеспечит ли этот слой просветление для зелёного  света с длиной волны λ = 546 нм, если показатель преломления плёнки n = 1,31?
Решение: для просветления оптики, на стекло линз наносят тонкую плёнку с показателем преломления меньшим, чем у стекла. При отражении света от границ раздела воздух–плёнка и плёнка–стекло происходит потеря полуволны, т.к. в обоих случаях свет отражается от оптически более плотной среды. Оптическая разность хода лучей 2 и 3 зависит только от толщины плёнки и её показателя преломления:

Δ = 2∙d∙n.

Учтено, что луч 2 отражается от границы воздух–плёнка, а луч 3 от границы плёнка–стекло и проходит дополнительный путь, равный двойной толщине плёнки в среде, с показателем преломления n. Для просветления, нужно, что бы в отражённом свете для данной длины волны выполнялся интерференционный минимум (при этом отражённые волны погасят друг друга и через стекло объектива пройдёт больше энергии). Условие минимума:
\[ \Delta =\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda }{2}. \]
Здесь k - натуральное число. Подставим оптическую разность, и выразим k. Если после расчёта, k примет значение  0, 1, 2, 3…, то плёнка обеспечит просветление для света с заданной длиной волны.
\[ \begin{array}{l} {2\cdot d\cdot n=\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda }{2} ,} \\ {k=\frac{2\cdot d\cdot n}{\lambda } -\frac{1}{2} .} \end{array} \]
Ответ: k = 2, обеспечит.

[Kivir]

902. Между двумя параллельными стеклянными пластинками имеется небольшой воздушный зазор. Сквозь пластинки проходит луч монохроматического света, падающий перпендикулярно поверхности пластинок. При этом в воздушном зазоре укладывается N = 30 длин волн света. Сколько длин волн того же света уложится в этом зазоре, если его заполнить жидкостью с показателем преломления n = 1,3?
Решение: пусть ширина зазора равна l. Тогда, по условию задачи:

l = N∙λ.

Здесь λ – длина волны монохроматического света. После заполнения зазора жидкостью, оптически более плотной, чем воздух, длина волны изменится – она станет меньше:

λ₁ = λ/n.

Ширина зазора осталась прежней, и уложится теперь N₁ длин волн:

l = N₁∙λ₁.

Приравняв ширину, сократим длину волны и найдём N₁:

N∙λ = N₁∙λ₁,
N∙λ = N₁∙λ/n,
N₁ = n∙N.

Ответ: 39.

[djek]

908. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ= 0,66 мкм, падающим нормально. Определить толщину воздушного зазора, образованного плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой в том месте, где в отраженном свете наблюдается четвертое темное кольцо.
Решение
В отраженном свете темные кольца образуются при выполнении условия интерференционных минимумов
\[ \Delta =(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2} \]
где k = 0, 1, 2, …,
Δ – оптическая разность хода волн, отраженных от выпуклой поверхности на границе раздела стекло-воздух и от пластинки на границе воздух стекло. Во втором случае отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому теряется половина волны. С учетом этого находим, что разность хода
\[ \Delta =2\cdot d+\frac{\lambda }{2} \]
где d – толщина воздушного зазора
Окончательно имеем
\[ \begin{align}
  & 2\cdot d+\frac{\lambda }{2}=(2\cdot k+1)\cdot \frac{\lambda }{2} \\
 & d=\frac{k\cdot \lambda }{2} \\
\end{align}
 \]

[djek]

909. Радиус третьего светлого кольца Ньютона в отраженном свете равен 0,80 мм. Установка для наблюдения колец освещается монохроматическим светом с длиной волны λ, = 400 нм. Найти радиус кривизны линзы.
Решение
В отраженном свете светлые кольца образуются при выполнении условия интерференционных максимумов

Δ = k·λ (k = 0, 1, 2,…),

Δ – оптическая разность хода волн, отраженных от выпуклой поверхности на границе раздела стекло-воздух и от пластинки на границе воздух стекло. Во втором случае отражение происходит от оптически более плотной среды, поэтому теряется половина волны. С учетом этого находим, что разность хода
\[ \Delta =2\cdot d+\frac{\lambda }{2} \]
где d – толщина воздушного зазора
Из рисунка видно, что

R² = r² + (R – d)², или
R² = r² + R² – 2Rd + d²

Учитывая, что d<<R, получим
\[ d=\frac{{{r}^{2}}}{2\cdot R} \]
Подставив это значение d в формулу для оптической разности хода волн и учтем, что она должна удовлетворять условию максимумов, получим
\[ \Delta =\frac{{{r}^{2}}}{R}+\frac{\lambda }{2}=k\cdot \lambda  \]
Отсюда найдем радиус кривизны линзы
\[ R=\frac{2\cdot {{r}^{2}}}{\lambda \cdot (2\cdot k-1)} \]

[alsak]

901. Определить длину l₁ отрезка, на котором укладывается столько же длин волн монохроматического света в вакууме, сколько их укладывается на отрезке длиной l₂ = 12 мм в воде. Показатель преломления воды n = 1,3. 
Решение: пусть λ₀ – длина волны в вакууме, λ – в воде. Длина волны в среде связана с длиной волны в вакууме соотношением
\[ \lambda =\frac{\lambda _{0}}{n}.  \]
Число длин волн, укладывающихся в отрезке
\[ \begin{array}{l} {N=\frac{l_{2} }{\lambda } =\frac{l_{1} }{\lambda _{0} } ,\frac{l_{2} \cdot n}{\lambda _{0} } =\frac{l_{1} }{\lambda _{0}},} \\ {l_{1} =l_{2} \cdot n.} \end{array} \]
Ответ: 15,6 ≈ 16 мм.

[alsak]

903. Вода освещена зелёным светом, длина волны которого в воздухе λ₁ = 540 нм. Определить длину волны и частоту этого света в воде. Какой цвет видит человек, открывший глаза под водой? Показатель преломления воды n = 4 / 3. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м / с.
Решение: показатель преломления воздуха считается равным единице, поэтому длина волны в воздухе и вакууме одинакова, т.е. λ₁ = λ₀, λ₂ – в воде. Длина волны в среде связана с длиной волны в вакууме соотношением
\[ \lambda _{2} =\frac{\lambda _{1}}{n}. \]
 При переходе световой волны из одной среды в другую, изменяется скорость распространения, что приводит к изменению длины волны. Частота световой волны при этом не изменяется. Цвет определяется частотой. Воспользуемся связью длины волны, частоты и скорости света
\[ \nu _{2} =\nu _{1} =\frac{c}{\lambda _{1}}. \]
Ответ: 405 нм, 5,6 ∙ 10¹⁴ Гц, увидит зелёный.

[alsak]

904. В воздухе длина волны монохроматического света λ₁ = 600 нм, а в стекле – λ₂ = 420 нм. Под каким углом падает свет на плоскую границу раздела воздух–стекло, если отражённый и преломлённый лучи образуют прямой угол?
Решение: угол падения луча на границу равен углу отражения. Угол преломления связан с углом падения законом преломления света.
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1}}, \]
здесь n₁ –показатель преломления первой среды – воздуха, n₂ –показатель преломления второй среды - стекла. Т.к. преломлённый и отражённый лучи перпендикулярны, то угол преломления равен (см. рис.)

β = 180º – 90º – α = 90º – α.

Тогда из закона преломления получим
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{\sin \alpha }{\sin \left(90{}^\circ -\alpha \right)} =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =tg\alpha =\frac{n_{2} }{n_{1}}. \]
Здесь учли, что sin(90º – α) = cosα (формулы приведения тригонометрических функций). Пусть λ₀ – длина волны в вакууме. Длина волны в среде связана с длиной волны в вакууме соотношением
\[ \begin{array}{l} {\lambda _{1} =\frac{\lambda _{0} }{n_{1} } ,\lambda _{2} =\frac{\lambda _{0} }{n_{2} } ,} \\ {\frac{\lambda _{1} }{\lambda _{2} } =\frac{n_{2} }{n_{1}}.} \end{array} \]
Тогда искомый угол падения
\[ \alpha =arctg\left(\frac{\lambda _{1} }{\lambda _{2}} \right). \]
Ответ: 55°.