Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

					925	926	927	928	929
930	931	932	933	934	935	936	937	938	939
940	941	942	943

[andrey]

925 , 937, 938, 939

[djek]

937. Пластинку, изготовленную из некоторого металла, освещают сначала одним светом, вызывающим фотоэффект, а затем другим, энергия фотона которого на ΔЕ = 3 эВ больше энергии фотона первого света. На сколько изменилась при этом максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов?
Решение.
Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, энергия фотона Е, поглощаемая электроном вещества, расходуется на работу А_вых выхода электрона из вещества и на сообщение ему кинетической энергии Е_к Запишем это уравнение для первого и второго случаев:

Е₁ = А_вых + Е_к1
Е₂ = А_вых + Е_к2

Отнимем от второго уравнения первое. Получим, что изменение кинетической энергии электронов равно разности энергий фотонов

Е₂ - Е₁ = Е_к1 - Е_к2
ΔЕ = ΔЕ_к

[djek]

925. Определить энергию и импульс фотона видимого света, длина волны которого λ = 0,6 мкм. Постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, скорость света в вакууме с = 3 · 10⁸ м/с.
Решение.
В развитие идеи Планка о том что свет испускается квантами, Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами (фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний ν волны соотношением Планка
\[ E=h\cdot \nu =h\cdot \frac{c}{\lambda } \]
где h – постоянная планка, ν – частота света, λ – длина волны.
Модуль импульса фотона
\[ p=\frac{E}{c}=\frac{h}{\lambda } \]

[djek]

938. При увеличении частоты падающего на металл света в n₁ = 2 раза задерживающее напряжение для фотоэлектронов увеличивается в n₂ = 3 раза. Частота первоначально падающего света ν = 1,2 · 10¹⁵ Гц. Определить длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта для этого металла. Скорость света в вакууме с= 3·10⁸ м/с.
Решение.
Максимальная длинна волны падающего света, при которой еще возможен фотоэффект, называется «красной границей» фотоэффекта. При λ = λ_кр скорость фотоэлектронов равна нулю. Тогда
\[ \begin{align}
  & {{A}_{в}}=h\cdot \frac{c}{\lambda } \\
 & \lambda =\frac{h\cdot c}{{{A}_{в}}} \\
\end{align}
 \]
Работу выхода электронов из металла найдем используя уравнение Эйнштейна для фотоэффекта и учтем, что величина задерживающего напряжения связана с максимальной кинетической энергией фотоэлектронов следующим образом

E_k = e·U

(кинетическая энергия электронов равна по величине работе сил электрического поля)
Тогда уравнение Эйнштейна примет вид

h·ν = A_в + e·U
A_в = h·ν - e·U

Тут нам не известна величина задерживающего напряжения. Воспользуемся тем, что металл освещают светом разной частоты и что ν₂ = n₁· ν, U₂ = n₂·U

A_в = h·ν - e·U
A_в = h·ν·n₁- e·U n₂

Решая эти уравнения относительно U получим
\[ U=\frac{h\cdot \nu \cdot ({{n}_{1}}-1)}{e\cdot ({{n}_{2}}-1)} \]
Тогда работа выхода
\[ \begin{align}
  & {{A}_{}}=h\cdot \nu -e\cdot \frac{h\cdot \nu \cdot ({{n}_{1}}-1)}{e\cdot ({{n}_{2}}-1)}=h\cdot \nu \cdot \left( 1-\frac{{{n}_{1}}-1}{{{n}_{2}}-1} \right) \\
 & {{A}_{}}=h\cdot \nu \cdot \left( \frac{{{n}_{2}}-{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}-1} \right) \\
\end{align}
 \]
Теперь можем найти длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта
\[ \lambda =\frac{h\cdot c}{{{A}_{}}}=\frac{\left( {{n}_{2}}-1 \right)\cdot c}{\left( {{n}_{2}}-{{n}_{1}} \right)\cdot \nu } \]

[djek]

939. Металлический шарик, удаленный от других тел, облучается монохроматическим светом с длиной волны λ = 200 нм. Шарик, теряя фотоэлектроны, заряжается до максимального потенциала φ_max = 3 В. Определить работу выхода электрона из металла. Постоянная Планка h = 6,63·10^-34 Дж·с, скорость света в вакууме с = 3·10⁸ м/с, заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл.
Решение.
Шарик, теряя фотоэлектроны, заряжается положительно. Его потенциал будет расти до тех пор, пока кинетическая энергия выбитых электронов не станет равна работе тормозящего электрического поля, возникшего при эмиссии электронов. По уравнению Эйнштейна
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda }=A+{{E}_{k}} \]

Е_к = е·φ

Работа выхода равна
\[ A=\frac{h\cdot c}{\lambda }-e\cdot \varphi  \]

[alsak]

926. В среде распространяется свет, имеющий длину волны λ = 300 нм и  энергию фотона E= 4,4 ∙ 10^–19 Дж. Определить абсолютный показатель преломления среды. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение: энергия фотона определяется по формуле
\[ E=h\cdot \nu =\frac{h\cdot \upsilon }{\lambda }, \]
здесь учли, что длина волны в веществе связана со скоростью распространения света в веществе υ и частотой ν. Показатель преломления показывает во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме, т.е.
\[ n=\frac{c}{\upsilon }. \]
Выразим скорость, подставим в выражение для энергии и определим показатель преломления
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =\frac{c}{n} ,E=\frac{h\cdot c}{\lambda \cdot n} ,} \\ {n=\frac{h\cdot c}{\lambda \cdot E} .} \end{array}  \]
Ответ: 1,5.

[alsak]

927. Человеческий глаз может воспринимать световой поток мощностью P = 2 ∙ 10^–17 Вт. Найти число фотонов света с длиной волны λ = 0,5 мкм, попадающих в глаз за время t = 1 с при указанной мощности. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение: число фотонов, попадающих в глаз за время t
\[ N=\frac{W}{E}, \]
здесь W = P∙t – суммарная энергия фотонов, E = hc/λ–энергия фотона. Таким образом
\[ N=\frac{P\cdot t\cdot \lambda }{h\cdot c}. \]
Ответ: 50.

[alsak]

928. Источник света излучает N = 1 ∙ 10¹⁹ фотонов за время t = 1 с. Длина волны излучения λ = 4,95 ∙ 10^–5 см.Какую мощность потребляет этот источник, если в энергию света переходит η = 0,1 потребляемой энергии? Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение:суммарная энергия фотонов (энергия света)

W =N∙E,

где  , E = hc/λ–энергия фотона. По условию в энергию света переходит η потребляемой энергии W₁, которую можно определить через потребляемую мощность:

W₁ = P∙t.

Таким образом, получаем
\[ \begin{array}{l} {W=\eta \cdot W_{1} ,} \\ {N\cdot \frac{h\cdot c}{\lambda } =\eta \cdot P\cdot t,} \\ {P=\frac{N\cdot h\cdot c}{\eta \cdot \lambda \cdot t}.} \end{array} \]
Ответ: 40 Вт.

[alsak]

929. Некоторый металл освещается светом, длина волны которого  λ = 0,25 мкм. Пренебрегая импульсом фотона, найти максимальный импульс, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона, если красная граница фотоэффекта для этого металла  λ_max= 0,28 мкм. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с, масса электрона m_e= 9,1 ∙ 10^–31 кг.
Решение: при вылете электрона из металла под действием света (явление фотоэффекта), он обладает импульсом  p_max. Точно такой же импульс (по модулю), но противоположный по направлению передаётся поверхности металла т.к. суммарный импульс системы металл – электрон до освещения светом был равен нулю (импульсом фотона пренебрегаем). Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hc/λ_max – работа выхода электрона, E_kmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую определим через максимальный импульс p_max:
\[ E_{k\max } =\frac{p_{\max }^{2} }{2\cdot m_{e}}. \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна получим
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } +\frac{p_{\max }^{2} }{2\cdot m_{e}}. \]
 После преобразований, получим
\[ p_{\max } =\sqrt{\frac{2\cdot m_{e} \cdot h\cdot c\left(\lambda _{\max } -\lambda \right)}{\lambda \cdot \lambda _{\max }}}. \]
Ответ:4 ∙ 10^–25кг∙м/с.