Световые кванты из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

930. Фотоэлемент облучается монохроматическим жёлтым светом, длина волны которого λ = 600 нм. За некоторое время фотоэлемент поглотил энергию W = 1 ∙ 10^–5 Дж. Найти число поглощённых фотонов.Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение: число поглощённых фотонов
\[ N=\frac{W}{E}, \]
здесь E = hc/λ–энергия фотона. Таким образом
\[ N=\frac{W\cdot \lambda }{h\cdot c}. \]
Ответ:3 ∙ 10¹³.

[alsak]

931. Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, которые полностью задерживаются напряжением U₃ = 3 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света ν_min = 6 ∙10¹⁴Гц. Найти работу выхода электрона. Заряд электрона e = 1,6 ∙ 10^–19 Кл, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение: пусть ν – частота падающего излучения, тогда, согласно уравнению Эйнштейна, имеем
\[ E=A+E_{k\max}, \]
здесь E = h∙ν – энергия падающего фотона, A= h∙ν_min– работа выхода электрона, E_kmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую определим, зная задерживающее напряжение

E_kmax = e∙U₃.

Таким образом

h∙ν = h∙ν_min + e∙U₃,

ν = ν_min + e∙U₃/h.

Ответ: 1,3 ∙ 10¹⁵ Гц ≈ 1 ∙ 10¹⁵ Гц,  4 ∙ 10^–19 Дж.

[alsak]

932. Цезиевый катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом, длина волны которого λ = 600 нм. Определить скорость вылетающих из катода фотоэлектронов, если красная граница фотоэффекта для цезия λ_max = 650 нм. Постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с, масса электрона m_e= 9,1 ∙ 10^–31 кг, скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max},  \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hc/λ_max – работа выхода электрона, E_kmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу и скорость частицы
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{\max }^{2}}{2}. \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна получим
\[ \frac{h\cdot c}{\lambda } =\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } +\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{\max }^{2}}{2}. \]
 После преобразований, получим
\[ \upsilon _{\max } =\sqrt{\frac{2\cdot h\cdot c\left(\lambda _{\max } -\lambda \right)}{m_{e} \cdot \lambda \cdot \lambda _{\max }}}. \]
Ответ: 2,4 ∙ 10⁵ м/с ≈ 2 ∙ 10⁵ м/с.

[alsak]

933. Красная граница фотоэффекта для материала фотокатода λ_max = 700 нм. Фотокатод освещают монохроматическим светом с длиной волны λ₁, а затем – с длиной волны λ₂. При этом отношение максимальных скоростей вылетающих электронов k = 3/4. Определить λ₂, если λ₁ = 600 нм.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A= hc/λ_max – работа выхода электрона, E_kmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу m_e и скорость электрона υ
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2}.  \]
Таким образом, из уравнения Эйнштейна для двух случаев
\[ \begin{array}{l} {\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{h\cdot c}{\lambda _{1} } -\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max } } ,} \\ {\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{h\cdot c}{\lambda _{2} } -\frac{h\cdot c}{\lambda _{\max }}.} \end{array} \]
Разделим уравнения, учтём что k = υ₁ / υ₂ – по условию,  и после преобразований получим
\[ \begin{array}{l} {k^{2} =\frac{\frac{1}{\lambda _{1} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } }{\frac{1}{\lambda _{2} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } } ,} \\ {\frac{1}{\lambda _{2} } -\frac{1}{\lambda _{\max } } =\frac{\lambda _{\max } -\lambda _{1} }{k^{2} \cdot \lambda _{1} \cdot \lambda _{\max } } ,} \\ {\lambda _{2} =\frac{k^{2} \cdot \lambda _{1} \cdot \lambda _{\max } }{\lambda _{1} \left(k^{2} -1\right)+\lambda _{\max }}.} \\ {.} \end{array} \]
Ответ:540 нм.

[alsak]

934. На рис. 286. Приведён график зависимости максимальной кинетической энергии E_km электронов, вылетающих с поверхности бария при фотоэффекте, от частоты ν облучающего света. Используя график, рассчитать постоянную Планка и работу выхода электронов из бария.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, имеем
\[ E=A+E_{km},  \]
здесь E = h∙ν – энергия падающего фотона, A= h∙ν_min – работа выхода электрона, E_km–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов.
Минимальная частота ν_min, при которой начинается фотоэффект – красная граница, при этом E_km электронов можно считать равной нулю. Как видно из графика ν_min = 6 ∙ 10¹⁴ Гц.
Выразим из уравнения максимальную кинетическую энергию
\[ E_{km} =h\cdot \nu -h\cdot \nu _{\min }. \]
Как видно, максимальная кинетическая энергия линейно зависит от частоты. Постоянная Планка из этого уравнения
\[ h=\frac{E_{km} }{\nu -\nu _{\min }}. \]
Подставив числовые данные, взятые из графика: E_km = 9,9 ∙ 10^–20 Дж, ν = 7,5 ∙ 10¹⁴ Гц, νmin = 6 ∙ 10¹⁴ Гц, получим ответ
Ответ: h = 6,6 ∙ 10^–34 Дж ∙ с, A = 4 ∙ 10^–19 Дж.

[alsak]

935. Пучок ультрафиолетовых лучей с длиной волны λ = 1 ∙ 10^–7 м, падающий на металлическую поверхность, передаёт ей мощность P = 1 ∙ 10^–6 Вт. Определить силу возникшего фототока, если фотоэффект вызывает η = 0,01 падающих фотонов. Скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с, заряд электрона e = 1,6 ∙ 10^–19 Кл.
Решение:суммарная энергия фотонов (энергия света, переданная металлической поверхности)

W =N∙E,

где, E = hc/λ–энергия фотона, N – число фотонов, W = P∙t, t – время, в течение которого освещается металлическая пластинка.  По условию фотоэффект вызывает η = 0,01 падающих фотонов, т.е число выбиваемых электронов N_e
\[ \begin{array}{l} {N_{e} =\eta \cdot N,} \\ {N_{e} =\eta \cdot \frac{P\cdot t\cdot \lambda }{h\cdot c}.} \end{array} \]
Сила тока – физическая величина, численно равная заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника, ко времени его прохождения
\[ I=\frac{\Delta q}{t}. \]
 Фототок создаётся движущимися электронами. Будем считать, что все фотоэлектроны достигли анода, тогда суммарный заряд

Δq = N_e∙e.

Таким образом, сила фототока
\[ I=\frac{\eta \cdot P\cdot \lambda \cdot e}{h\cdot c}. \]
Ответ: 8 ∙ 10^–10 А.

[alsak]

936. На металлическую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны λ₁ = 4,13 ∙ 10^–7 м. Поток фотоэлектронов, вырываемых этим светом с поверхности металла, полностью задерживается разностью потенциалов U = 1 В. Определить работу выхода электрона из этого металла и длину волны света, соответствующую красной границе фотоэффекта. Постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с, заряд электрона e = 1,6 ∙ 10^–19 Кл, скорость света в вакууме c = 3 ∙ 10⁸ м/с, масса электрона m_e= 9,1 ∙ 10^–31 кг. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если длина волны падающего света λ₂ = 7 ∙ 10^–7 м?
Решение:запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ₁ – энергия падающего фотона, A= hc/λ_max – работа выхода электрона, λ_max – красная граница фотоэффекта, E_kmax – максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная задерживающее напряжение: E_kmax = e∙U. Таким образом
\[ A=\frac{h\cdot c}{\lambda _{1} } -e\cdot U. \]
После подстановки данных A = 3,2 ∙ 10^–19 Дж ≈ 3 ∙ 10^–19 Дж. Тогда красная граница фотоэффекта для данного металла
\[ \lambda _{\max } =\frac{h\cdot c}{A}.  \]
После подстановки числовых данных λ_max = 6 ∙ 10^–7 м.
Так как длина волны λ₂ больше λ_max, то фотоэффект свет с такой длиной волны не вызовет.
Ответ:3 ∙ 10^–19 Дж, 6 ∙ 10^–7 м, не будет.

[alsak]

940.Фотон с длиной волны λ вырывает с поверхности металла фотоэлектрон, который попадает в однородное магнитное поле с индукцией B и описывает в нём окружность радиуса R. Найти работу выхода электрона из металла. Масса электрона m_e, его заряд e, постоянная Планка h, скорость света в вакууме c.
Решение: запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
\[ E=A+E_{k\max }, \]
здесь E = hc/λ – энергия падающего фотона, A– работа выхода электрона, E_kmax–максимальная кинетическая энергия вылетающих электронов, которую легко определить, зная массу m_e и скорость электрона υ
\[ E_{k\max } =\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{2}. \]
Скорость электрона определим, зная, что он попал в магнитное поле и движется в нём по окружности. В магнитном поле на электрон действует сила Лоренца F = e∙υ∙B∙sinα, которая всегда направлена перпендикулярно скорости, поэтому эта сила сообщает частице центростремительное ускорение - a. Запишем второй закон Ньютона, учтём, что частица влетела в магнитное поле перпендикулярно вектору магнитной индукции (α = 90º, только в этом случае частица будет двигаться по окружности), имеем
\[ \begin{array}{l} {F=m_{e} \cdot a,{\rm \; \; \; }e\cdot \upsilon \cdot B=m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{R} ,} \\ {\upsilon =\frac{e\cdot R\cdot B}{m_{e}}.} \end{array} \]
После подстановки в уравнение Эйнштейна, получим
\[ \begin{array}{l} {A=\frac{h\cdot c}{\lambda } -\frac{m_{e} }{2} \cdot \left(\frac{e\cdot R\cdot B}{m_{e} } \right)^{2} ,} \\ {A=\frac{h\cdot c}{\lambda } -\frac{\left(e\cdot R\cdot B\right)^{2} }{2m_{e} } .} \end{array} \]

[alsak]

941. Фотон рентгеновского излучения с энергией E = 0,45 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного фотона E' = 0,40 МэВ. Определить угол рассеяния фотона и кинетическую энергию электрона отдачи. Энергия покоя электрона E₀ = 0,511 МэВ.
Решение: эффект Комптона объясняется тем, что фотон, как и любая частица, обладает импульсом и что акт рассеяния представляет собой упругое столкновение фотона с электроном. Косинус угла рассеяния определим, воспользовавшись формулой Комптона
\[ \Delta \lambda =\frac{h}{m_{e} \cdot c} \cdot \left(1-\cos \theta \right). \]
Здесь Δλ = λ – λ', λ = h∙c/E – длина волны падающего излучения, λ' = h∙c/E' – длина волны рассеянного излучения. Энергия покоя электрона E₀ = m_e∙c², тогда из формулы Комптона получим
\[ \begin{array}{l} {\frac{h\cdot c}{E} -\frac{h\cdot c}{E'} =\frac{h\cdot c}{m_{e} \cdot c^{2} } \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\frac{1}{E_{0} } \cdot \cos \theta =\frac{1}{E_{0} } -\frac{1}{E} +\frac{1}{E'} ,} \\ {\cos \theta =1-\frac{E_{0} }{E} +\frac{E_{0} }{E'} ,} \\ {\theta =\arccos \left(1-\frac{E_{0} \cdot \left(E-E'\right)}{E\cdot E'} \right).} \end{array} \]
На основании закона сохранения энергии кинетическая энергия электрона отдачи равна разности между энергией E падающего фотона и энергии E' рассеянного фотона:

E_k= E – E'.

Ответ: 31º, 0,05 МэВ.

[alsak]

942. Рентгеновское излучение с длиной волны λ = 5 пм рассеивается на свободных электронах под углом θ = 20º. Найти импульс электрона отдачи. Комптоновская длина волны электрона λ_C = 2,4 пм, постоянная Планка h = 6,63 ∙ 10^–34 Дж ∙ с.
Решение: пусть p = h / λ – импульс падающего фотона, p'– импульс рассеянного фотона, p_e – импульс электрона отдачи.  Импульс рассеянного  фотона определим, воспользовавшись формулой Комптона
\[ \begin{array}{l} {\Delta \lambda =\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {\lambda '=\lambda +\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right),} \\ {p'=\frac{h}{\lambda '} =\frac{h}{\lambda +\lambda _{C} \cdot \left(1-\cos \theta \right)}.} \end{array} \]
При столкновении фотона и электрона выполняется закон сохранения импульса. Сделаем рисунок.
Как видно из рисунка, импульс электрона отдачи можно определить, воспользовавшись теоремой косинусов
\[ p_{e} =\sqrt{p^{2} +\left(p'\right)^{2} -2\cdot p\cdot p'\cdot \cos \theta }. \]
Ответ: 4,55 ∙ 10^–23 кг ∙ м/с ≈ 5 ∙ 10^–23 кг ∙ м/с.