Атом и атомное ядро из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

					955	956	957	958	959
960	961	962	963	964	965	966	967	968	969
970	971	972	973	974	975	976	977	978	979
980	981	982

[alsak]

955. Определить плотность ядерного вещества, считая радиус ядра атома \[ R = R_0 \cdot \sqrt[3]{A}, \] где R₀ = 1,3∙10^–15 м, А — массовое число. Масса нуклона m₀ = 1,67∙10^-27 кг. Какова была бы масса тела объемом V = 1,0 см³, если бы оно состояло из одних ядер?

Решение. 1 вопрос. Плотность вещества равна

ρ = m₁/V₀,

где m₁ = N∙m₀ — масса ядра, N = A — число нуклонов, V₀ = 4/3π⋅R³  — объем ядра. Тогда
 

\[ \rho = \frac{3N \cdot m_0}{4\pi \cdot R^3} = \frac{3A \cdot m_0}{4\pi \cdot R_{0}^{3} \cdot A} = \frac{3m_0}{4 \pi \cdot R_{0}^{3}}, \]

ρ = 1,8∙10¹⁷ кг/м³.

2 вопрос. Масса тела будет равна

m = ρ∙V,

m = 1,8∙10¹¹ кг.

[alsak]

977. Азот облучается в течение τ = 1,0 ч пучком α-частиц \( \left( {}_{2}^{4}\text{He} \right), \) ускоренных в циклотроне. Найти количество атомов образовавшегося изотопа \( {}_{8}^{17}\text{O}, \) если сила тока в пучке I = 200 мкА и ядерную реакцию

\[ {}_{7}^{14}\text{N}+{}_{2}^{4}\text{He}={}_{8}^{17}\text{O}+{}_{1}^{1}\text{H} \]

вызывает одна α-частица из каждых n = 1,0∙10⁵ частиц в пучке. Заряд электрона e = 1,6∙10^–19 Кл.

Решение. Число атомов N_O образовавшегося изотопа \( {}_{8}^{17}\text{O} \) будет равно числу α-частиц N_αp, участвующих в ядерной реакции (N_O = N_αp), т.к. в ядерной реакции на одну α-частицу приходится один атом кислорода.
Найдем общее число α-частиц N_α в пучке. По определению

I = Δq/τ,

где Δq = N_α∙q_α — заряд, который перенесут α-частицы в циклотроне в течении времени τ, q_α = 2e — заряд α-частицы. Тогда
 

\[ I = \frac{N_{\alpha } \cdot q_{\alpha } }{\tau } = \frac{2N_{\alpha } \cdot e}{\tau }, \;\;\; N_{\alpha } = \frac{I \cdot \tau }{2e}. \]

По условию ядерную реакцию вызывает одна α-частица из каждых n частиц, поэтому
 

\[ N_{{\rm O}} = N_{\alpha p} = \frac{I \cdot \tau }{2e \cdot n}, \]

N_O = 2,3∙10¹³.

[roma]

964-967
 из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

957. Резерфорд наблюдал, что при лобовом соударении с неподвижными ядрами атомов меди α-частиц с энергией E₀ = 5,0 МэВ последние отлетают назад с энергией E = 3,9 МэВ. Вычислить по этим данным отношение масс ядра атома меди и α-частицы. Взаимным отталкиванием зарядов пренебречь.

Решение. Считаем, что удар упругий (α-частица отскакивает от атома меди). Тогда будет выполняться и закон сохранения импульса, и закон сохранения механической энергии. Пусть m₁ — масса α-частицы, υ₀ — скорость α-частицы до столкновения, υ₁ — скорость α-частицы после столкновения, m₂ — масса ядра меди, υ₂ — скорость ядра меди после столкновения.
Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара α-частица начнет двигаться влево (отлетает назад) (рис. 1).
\[\begin{array}{c} {\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; (1)} \\ {0X: \; \; \; m_{1} \cdot \upsilon _{0} =-m_{1} \cdot \upsilon _{1} +m_{2} \cdot \upsilon _{2x} \; \; \; (2)} \end{array}\]
(направление скорость υ2 неизвестно), где скорости найдем через энергии частиц:
\[\begin{array}{l} {\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} =E_{0}, \; \; \; \upsilon _{0} =\sqrt{\frac{2E_{0}}{m_{1}}}, \; \; \; (3)} \\ {\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = E, \; \; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\frac{2E}{m_{1}}}. \; \; \; (4)} \end{array}\]
Решим систему уравнений (1)-(4). Например,
\[\begin{array}{c} {\upsilon _{2x} =\frac{m_{1} \cdot \left(\upsilon _{0} +\upsilon _{1} \right)}{m_{2}} =\frac{\sqrt{2E_{0} \cdot m_{1}} +\sqrt{2E\cdot m_{1}}}{m_{2}} =\frac{\sqrt{2m_{1}} \cdot \left(\sqrt{E_{0}} +\sqrt{E} \right)}{m_{2}},} \\ {E_{0} =E_{1} +\frac{m_{2} }{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} =E+\frac{m_{2}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2m_{1} } \cdot \left(\sqrt{E_{0}} +\sqrt{E} \right)}{m_{2} } \right)^{2} =E+\frac{m_{1}}{m_{2}} \cdot \left(\sqrt{E_{0}} +\sqrt{E} \right)^{2} ,} \\ {\frac{m_{1} }{m_{2}} \cdot \left(\sqrt{E_{0}} +\sqrt{E} \right)^{2} =E_{0} -E, \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1}} =\frac{\left(\sqrt{E_{0}} +\sqrt{E} \right)^{2}}{E_{0} -E}, \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1}} =16.} \end{array}\]

[alsak]

958. Какова скорость α-частицы с кинетической энергией E_k = 7,68 МэВ? Масса α-частицы m = 6,64∙10^–27 кг.

Решение. Оценим скорость α-частицы по классической теории:
\[E_{k} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\frac{2E_{k} }{m}},\]
υ₁ = 1,924∙10⁷ м/с — это составляет 1/16 скорости света.

Рассчитаем скорость, учитывая релятивистскую теорию:
\[E_{k} =E-E_{0} =\left(\frac{1}{\sqrt{1-\upsilon _{2}^{2} /c^{2}}} -1\right)\cdot m\cdot c^{2} .\]

Тогда
\[\begin{array}{c} {\frac{1}{\sqrt{1-\upsilon _{2}^{2} /c^{2}}} =\frac{E_{k} }{m\cdot c^{2}} +1=\frac{E_{k} +m\cdot c^{2}}{m\cdot c^{2}}, \; \; \; 1-\frac{\upsilon _{2}^{2} }{c^{2}} =\left(\frac{m\cdot c^{2} }{E_{k} +m\cdot c^{2}} \right)^{2},} \\ {\upsilon _{2} =c\cdot \sqrt{1-\left(\frac{m\cdot c^{2}}{E_{k} +m\cdot c^{2}} \right)^{2}},} \end{array}\]
υ₂ = 1,921∙10⁷ м/с.

[alsak]

959. Пучок однократно ионизированных изотопов магния ²⁴Mg и ²⁵Mg влетает в однородное магнитное поле. Определить радиус R₁ окружности, по которой движутся легкие изотопы, если для тяжелых изотопов он равен R₂. Скорость всех ионов в пучке считать одинаковой.

Решение. При движении заряженной частицы по окружности в магнитном поле, можно записать

m∙a_c = F,

где m = M/N_a — масса изотопа, a_c = υ²/R — центростремительное ускорение, F = q∙B∙υ∙sin α — сила Лоренца, α = 90° (т.к. заряженная частица движется в магнитном поле по окружности). Тогда
\[\frac{M\cdot \upsilon ^{2} }{N_{A} \cdot R} =q\cdot \upsilon \cdot B, \; \; \; \frac{M\cdot \upsilon }{N_{A} \cdot R} =q\cdot B. \; \; \; (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух изотопов (M₁ = 24∙10^–3 кг/моль, M₂ = 25∙10^–3 кг/моль, заряды и скорости изотопов равны) и решим их.
\[\begin{array}{c} {\frac{M_{1} \cdot \upsilon }{N_{A} \cdot R_{1}} =q\cdot B, \; \; \; \frac{M_{2} \cdot \upsilon }{N_{A} \cdot R_{2}} =q\cdot B,} \\ {\frac{M_{1}}{R_{1}} =\frac{M_{2}}{R_{2}}, \; \; \; R_{1} =\frac{M_{1}}{M_{2}} \cdot R_{2}, \; \; \; R_{1} =0,96\cdot R_{2}.} \end{array}\]

[alsak]

961. Атом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое испускает последовательно два кванта, длины волн которых λ₁ = 4051 нм и λ₂ = 97,25 нм. Определить изменение энергии атома водорода. Постоянная Планка h = 6,63∙10^-34 Дж∙с, скорость света в вакууме с = 3,0∙10⁸ м/с.

Решение. При излучение одного фотона энергия атома уменьшается на ΔW₁:
\[\Delta W_{1} =h\cdot \nu =\frac{h\cdot c}{\lambda _{1}}.\]
При излучении двух фотонов

ΔW = ΔW₁ + ΔW₂,

\[\Delta W=\frac{h\cdot c}{\lambda _{1}} +\frac{h\cdot c}{\lambda _{2}} =h\cdot c\cdot \left(\frac{1}{\lambda _{1}} +\frac{1}{\lambda _{2}} \right),\]
ΔW = 2,1∙10^–18 Дж.

[alsak]

962. На каком расстоянии от центра ядра находится электрон в атоме водорода, если скорость его движения по орбите υ = 2,2∙10⁶ м/с? Какова напряженность поля, создаваемого ядром в точках орбиты? Заряд электрона е = 1,6∙10^–19 Кл, электрическая постоянная ε₀ = 8,85∙10^–12 Ф/м, масса электрона m_е = 9,1∙10^–31 кг.

Решение. На электрон, вращающегося вокруг ядра, действует кулоновская сила F_k, где F_k — сила взаимодействия ядра (q₁ = e) и электрона (q₂ = –e). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось, направленную вдоль центростремительного ускорения электрона (к центру окружности):

m_e∙a_c = F_k

или
\[m_{e} \cdot \frac{\upsilon ^{2} }{r} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r^{2}}, \; \; \; r=\frac{k\cdot e^{2} }{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}},\]
r = 5,2∙10^–11 м — радиус орбиты электрона или расстоянии от центра ядра до электрона.

Напряженность поля, создаваемого ядром в точках орбиты, найдем как напряженность точечного заряда на расстоянии, равном радиусу орбиты r:
\[E=k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|}{r^{2}} =k\cdot e\cdot \frac{1}{r^{2}} =k\cdot e\cdot \left(\frac{m_{e} \cdot \upsilon ^{2}}{k\cdot e^{2}} \right)^{2} =\frac{\left(m_{e} \cdot \upsilon ^{2} \right)^{2}}{k\cdot e^{3}} ,\]
E = 5,3∙10¹¹ В/м.

[alsak]

963. Радиус первой орбиты электрона в атоме водорода r₁ = 5,3∙10^-11 м. Найти напряженность электрического поля ядра на этом расстоянии и кинетическую энергию электрона на первой орбите. Заряд электрона е = 1,6∙10^–19 Кл, электрическая постоянная ε₀ = 8,85∙10^–12 Ф/м.

Решение. Напряженность поля, создаваемого ядром на расстоянии r₁, найдем как напряженность точечного заряда q₁ = e:
\[E=k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|}{r_{1}^{2} } =\frac{k\cdot e}{r_{1}^{2}}, \; \; \; k=\frac{1}{4\pi \cdot \varepsilon _{0} } ,\]
E = 5,1∙10¹¹ В/м.

Чтобы найти кинетическую энергию, надо знать скорость электрона υ₁. Найдем эту скорость. На электрон, вращающегося вокруг ядра, действует кулоновская сила F_k, где F_k — кулоновская сила взаимодействия ядра (q₁ = e) и электрона (q₂ = –e). Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось, направленную вдоль центростремительного ускорения электрона (к центру окружности):

m∙a_c = F_k

или
\[m_{e} \cdot \frac{\upsilon _{1}^{2}}{r_{1}} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r_{1}^{2}}, \; \; \; \upsilon _{1}^{2} =k\cdot \frac{\left|q_{1} \right|\cdot \left|q_{2} \right|}{r_{1} \cdot m_{e}} =\frac{k\cdot e^{2}}{r_{1} \cdot m_{e}} .\]

Тогда кинетическая энергия электрона равна
\[W_{k1} =\frac{m_{e} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} =\frac{k\cdot e^{2}}{2r_{1}} ,\]
W_k1 = 2,2∙10^–18 Дж.