Атом и атомное ядро из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

978. В реакции взаимодействия \( {}_{13}^{27} Al  \) с углеродом  \( {}_{6}^{12}C  \)  образуется α-частица, нейтрон и ядро некоторого изотопа. Определить количество нейтронов в этом ядре.
Решение: запишем ядерную реакцию, воспользовавшись законами сохранения массового A  и зарядового Z чисел (верхний и нижний индексы):
\[ {}_{13}^{27} Al+{}_{6}^{12} C\to {}_{2}^{4} \alpha +{}_{0}^{1} n+{}_{17}^{34} Cl \]
Получили, что неизвестное ядро – это ядро изотопа хлора. Количество нейтронов:
N = A – Z = 34 – 17 = 17.
Ответ: 17

[Kivir]

979. При взаимодействии ядра изотопа лития \( {}_{3}^{7}Li  \)и протона образуются две одинаковые частицы, и выделяется энергия E₀ = 17,3 МэВ. Определить частицу и энергию, которая выделится, если с протонами прореагируют ядра, содержащиеся в m = 1,0 г изотопа лития. Постоянная Авогадро N_a = 6,02∙10²³ моль^-1.
Решение: запишем ядерную реакцию, воспользовавшись законами сохранения массового A  и зарядового Z чисел (верхний и нижний индексы):
\[ {}_{3}^{7} Li+{}_{1}^{1} p\to {}_{2}^{4} \alpha +{}_{2}^{4} \alpha  \]
Получаем, что в результате реакции образуется две α-частицы (\( {}_{2}^{4}He \) - ядра гелия). Количество ядер лития:
\[ N=\nu \cdot N_{a} =\frac{m}{M} \cdot N_{a}. \]
M = 7 г/моль – молярная масса лития. Искомая энергия:
\[ E=N\cdot E_{0} =\frac{E_{0} \cdot m\cdot N_{a}}{M}. \]
Ответ: 1,48∙10²⁴ Мэв = 2,4∙10¹¹ Дж.

[djek]

956. В опытах Резерфорда α-частицы в момент попадания на тонкую золотую фольгу имели скорость υ=2·10⁷ м/с. Полагая вектор скорости α-частицы совпадающим с прямой, соединяющей частицу и ядро атома золота (лобовое соударение), найти расстояние максимального приближения α-частицы к ядру атома золота. Молярная масса гелия М = 4·10^-3 кг/моль, постоянная Авогадро N_A = 6,02·10²³ моль^-1, элементарный заряд е = 1,6·10^-19 Кл, заряд ядра золота q = 79е, электрическая постоянная ε₀ =8,85·10^-12 Ф/м.
Решение.
Кинетическая энергия налетающей частицы превращается в потенциальную энергию взаимодействия α-частицы и ядра атома золота.
\[ \begin{align}
  & {{E}_{k}}={{E}_{п}} \\
 & \frac{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{q\cdot {{q}_{\alpha }}}{r} \\
\end{align}
 \]
Где m₀ – масса α-частицы, q = 79е и q_α = 2е – заряд ядра и налетающей α-частицы соответственно, r – расстояние между ними в момент максимального сближения.
α-частица – это ядро атома гелия. Тогда
\[ \begin{align}
  & {{m}_{0}}=\frac{M}{{{N}_{A}}} \\
 & r=\frac{q\cdot {{q}_{\alpha }}}{{{m}_{0}}\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{q\cdot 2\cdot e\cdot {{N}_{A}}}{M\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot 2\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{q\cdot e\cdot {{N}_{A}}}{M\cdot {{\upsilon }^{2}}\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}
 \]

[djek]

960. Атом водорода состоит из ядра, вокруг которого вращается единственный электрон. С какой частотой вращается электрон вокруг ядра, если его орбита - окружность радиуса r = 5,3·10^-11 м? Масса электрона m_е = 9,1·10^-31 кг, заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, электрическая постоянная
ε₀ =8,85·10^-12 Ф/м
Решение.
На электрон, вращающийся вокруг ядра, действует кулоновская сила, которая сообщает электрону центростремительное ускорение. Пусть F_k – сила взаимодействия ядра и электрона, q₁ = e – заряд ядра, q₂ = -e – заряд электрона. Тогда согласно второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & {{F}_{k}}={{m}_{e}}\cdot {{a}_{c}};{{F}_{k}}={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{r};\upsilon =2\cdot \pi \cdot \nu \cdot r \\
 & \frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}}={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\left( 2\cdot \pi \cdot \nu \cdot r \right)}^{2}}}{r} \\
 & {{\nu }^{2}}=\frac{{{e}^{2}}}{16\cdot {{\pi }^{3}}\cdot {{m}_{e}}\cdot r\cdot {{\varepsilon }_{0}}};\nu =\frac{e}{4\cdot \pi \cdot \sqrt{\pi \cdot {{m}_{e}}\cdot r\cdot {{\varepsilon }_{0}}}} \\
\end{align}
 \]

[djek]

965. Цинковую пластину освещают монохроматическим светом, длина волны которого соответствует переходу электрона в атоме водорода с уровня с энергией W₁ = -0,38 эВ на уровень с энергией W₂ = -13,6 эВ. Определить, на какое максимальное расстояние от пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне ее имеется задерживающее однородное электрическое поле напряженностью Е= 10 В/см. Заряд электрона е = 1,6·10^-19 Кл, работа выхода электрона из цинка А = 6,4·10^-19 Дж.
Решение.
Свет испускается, распространяется и поглощается квантами, энергия испускаемая или поглощаемая  при этом равна разности энергий атома в данных состояниях
 \[ W={{W}_{1}}-{{W}_{2}}=h\cdot \nu =h\cdot \frac{c}{\lambda } \]
Согласно А. Эйнштейну, энергия фотона, поглощаемая электроном вещества, расходуется на работу выхода электрона из вещества и на придание ему кинетической энергии. Тогда

W₁ – W₂ = A_в + Е_к

По закону сохранения энергии

Е_к = е·U

Где U – задерживающее напряжение.
Напряжение связано с напряженностью следующим соотношением

U = Е·d

В результате

W₁ – W₂ = A_в + е·U; W₁ – W₂ = A_в + е· Е·d

\[ d=\frac{{{W}_{1}}-{{W}_{2}}-A}{E\cdot e} \]
 

[djek]

966. На основании теории Бора найти отношение потенциальной энергии Е_р электрона к его кинетической энергии Е_к в атоме водорода.
Решение.
Согласно первого постулат Бора, электрон в атоме водорода  может двигаться вокруг ядра только по определенным, так называемым разрешенным, или стационарным, круговым орбитам, на которых они, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн (поэтому эти орбиты названы стационарными). Электрон на каждой стационарной орбите обладает определенной кинетической и потенциальной энергией.
На электрон, вращающийся вокруг ядра, действует кулоновская сила, которая сообщает электрону центростремительное ускорение. Пусть F_k – сила взаимодействия ядра и электрона, q₁ = e – заряд ядра, q₂ = -e – заряд электрона. Тогда согласно второму закону Ньютона
\[ \begin{align}
  & {{F}_{k}}={{m}_{e}}\cdot {{a}_{c}};{{F}_{k}}={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{r}; \\
 & \frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}}={{m}_{e}}\cdot \frac{{{\upsilon }^{2}}}{r} \\
 & {{E}_{k}}=\frac{{{m}_{e}}\cdot {{\upsilon }^{2}}}{2}=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{2\cdot r} \\
\end{align}
 \]
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром
\[ {{E}_{p}}=-\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{\left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{r} \]
Она отрицательна, так как потенциальная энергия взаимодействия зарядов разных знаков отрицательна. Тогда
Е_p/E_k = -2

[djek]

968. Определить энергию связи ядра урана ²³⁵U₉₂. Масса ядра ²³⁵U₉₂= 234,99331 а.е.м., масса протона m_p = 1,00728 а.е.м., масса нейтрона m_n = 1,00867 а.е.м., 1 а.е.м. = 1,66053·10^-27 кг. Скорость света в вакууме с = 2,998·10⁸ м/с.
Решение.
Минимальная энергия, которую нужно затратить для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи ядра. Такая же энергия выделится при образовании ядра из свободных нуклонов:

Е_св=Δm·c²

Где Δm – дефект масс, разность между суммарной массой всех нуклонов ядра в свободном состоянии и массой ядра

Δm = Z·m_p + (A – Z)·m_n – M
Е_св=( Z·m_p + (A – Z)·m_n – M)·c²

Где Z – число протонов, A – массовое число, A = Z + N, N – число нейтронов.
Расчеты удобно вести учитывая что 1 а.е.м соответствует энергия 1 а.е.м·с² = 931,5 МэВ
Е_св=( 92·m_p + (235 – 92)·m_n – M)·c²

[djek]

969. Масса m₁ ядра ¹⁶О₈ равна 16,00 а.е.м. Определить его дефект массы и энергию связи, если известно, что масса m₂ ядра ⁴Не₂ равна 4,00 а.е.м., а его дефект массы Δm₂ = 0,03 а.е.м. Скорость света в вакууме с = 3,0·10⁸ м/с.
Решение.
Δm – дефект масс, разность между суммарной массой всех нуклонов ядра в свободном состоянии и массой ядра

Δm = Z·m_p + (A – Z)·m_n – M

Где Z – число протонов, A – массовое число, A = Z +N, N – число нейтронов.
Тогда

Δm₁ = Z₁·m_p + (A₁ – Z₁)·m_n – m₁
Δm₁ = 8·m_p + 8·m_n – m₁ = 8·(m_p + m_n) – m₁ (1)
Δm₂ = Z₂·m_p + (A₂ – Z₂)·m_n – m₂
Δm₂ = 2·m_p + 2·m_n – m₂ = 2·(m_p + m_n) – m₂ (2)

Выразим из (2) ·(m_p + m_n) и подставим в (1)

Δm₁ = 4·(Δm₂ + m₂) – m₁

Минимальная энергия, которую нужно затратить для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи ядра. Такая же энергия выделится при образовании ядра из свободных нуклонов:

Е_св=Δm·c²
Е_св=(4·(Δm₂ + m₂) – m₁)·c²

[djek]

970. Найти энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома кислорода ¹⁶О₈. Масса атома кислорода m_a= 15,99491 а.е.м., масса атома водорода m_H = 1,00783 а.е.м., масса нейтрона m_n = 1,00867 а.е.м.
Решение.
\[ W=\frac{{{E}_{св}}}{A} \]
Где А – количество нуклонов в ядре, Е_св – энергия связи ядра

Е_св=Δm·c²

Где Δm – дефект масс, разность между суммарной массой всех нуклонов ядра в свободном состоянии и массой ядра

Δm = Z·m_p + (A – Z)·m_n – m_a

Где Z – число протонов, A – массовое число, A = Z +N, N – число нейтронов.

Е_св=( Z·m_p + (A – Z)·m_n – m_a)·c²

Расчеты удобно вести учитывая что 1 а.е.м соответствует энергия 1 а.е.м·с² = 931,5 МэВ. Учтем, что ядро атома водорода – протон. Тогда
\[ W=\frac{{{E}_{}}}{A}=\frac{(Z\cdot {{m}_{p}}+\left( A-Z \right)\cdot {{m}_{n}}-{{m}_{a}})\cdot 931,5}{A} \]

[djek]

971. Определить энергию, которая выделяется при делении одного ядра урана ²³⁵U₉₂если при делении всех ядер, содержащихся в уране массой m = 1,0 г, выделяется энергия Е = 8,2·10¹⁰ Дж. Постоянная Авогадро N_A= 6,02·1023 моль^-1
Решение.
Энергия, которая выделится при делении одного ядра, равна отношению энергии, которая выделится при делении всех ядер, к количеству этих ядер.
\[ \begin{align}
  & {{E}_{0}}=\frac{E}{N};N=\frac{m}{M}\cdot {{N}_{A}} \\
 & {{E}_{0}}=E\cdot \frac{M}{m\cdot {{N}_{a}}} \\
\end{align}
 \]
Молярная масса урана ²³⁵U₉₂  М = 235·10^-3 кг/моль