За пятую секунду прямолинейного равнозамедленного движения

[PintaE]

За пятую секунду прямолинейного равнозамедленного движения тело проходит путь 5 см и останавливается. Какой путь пройдет тело за третью секунду этого движения.

[alsak]

Так как движение прямолинейное, то путь и перемещение численно равны. Направим ось 0Х вдоль скорости тела. Запишем уравнение перемещения:
\[ \Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2}, \;\;\; s=\upsilon _{0} \cdot t-\frac{a\cdot t^{2} }{2}, \;\;\; (1) \]
т.к. Δr_x = s, υ_0x = υ₀, a_x = –a (равнозамедленное движение). Перепишем уравнение (1) для нахождения пройденного пути Δs₅ за Δt₅ = t₅ – t₄ (пятую секунду) и пути Δs₃ за Δt₃ = t₃ – t₂ (третью секунду)
\[ \Delta s_{5} =\left(\upsilon _{0} \cdot t_{5} -\frac{a\cdot t_{5}^{2} }{2} \right)-\left(\upsilon _{0} \cdot t_{4} -\frac{a\cdot t_{4}^{2} }{2} \right)=\upsilon _{0} \cdot \left(t_{5} -t_{4} \right)-\frac{a\cdot \left(t_{5}^{2} -t_{4}^{2} \right)}{2}, \;\;\; (2) \]
\[ \Delta s_{3} =\upsilon _{0} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right)-\frac{a\cdot \left(t_{3}^{2} -t_{2}^{2} \right)}{2}. \;\;\; (3) \]
С учетом того, что тело через время t₅ = 5 с останавливается (υ_x = 0), запишем уравнение скорости тела:

υ_x = υ₀ – a⋅t или υ₀ – a⋅t₅ = 0. (4)

Решим систему уравнений (2) – (4). Например (подробнее см. рис. 1),
\[ \upsilon _{0} =a\cdot t_{5}, \;\;\; \Delta s_{5} =a\cdot t_{5} \cdot \left(t_{5} -t_{4} \right)-\frac{a\cdot \left(t_{5}^{2} -t_{4}^{2} \right)}{2}, \;\;\; a=\frac{2\Delta s_{5} }{\left(t_{5} -t_{4} \right)^{2}}. \]
Можно рассчитать значения ускорения a и скорости υ₀ (через уравнение 4) и подставить их в уравнения (3):
a = 10 м/c², υ₀ = 50 м/с.

Можно решить в общем виде (подробнее см. рис. 2)
 
\[ \Delta s_{3} =a\cdot t_{5} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right)-\frac{a\cdot \left(t_{3}^{2} -t_{2}^{2} \right)}{2} =\Delta s_{5} \cdot \frac{2t_{5} \cdot \left(t_{3} -t_{2} \right)-\left(t_{3}^{2} -t_{2}^{2} \right)}{\left(t_{5} -t_{4} \right)^{2}}, \]
Δs₃ = 25 см.