Найдите время подъема тела по наклонной плоскости

[Alena]

Марон. 10 класс КР-5. вариант 3
Тело брошено вверх по наклонной плоскости с углом 28 градусов. Найдите время подъема тела до остановки и время спуска, если начальная скорость тела равна 13 м/с, а коэффициент трения равен 0,2.

[alsak]

На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N) и сила трения (F_tr): 1) когда тело скользит вверх, сила трения направлена вниз (рис. 1), 2) когда тело скользит вниз, сила трения — вверх (рис. 2). Скорость тела в первом случае уменьшается, поэтому ускорение направлено в противоположную сторону движения. Во втором случае скорость увеличивается, ускорение будет направлено в ту же сторону, что и скорость. Запишем второй закон Ньютона:
\[ m\cdot \vec{a}=\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr}, \]

0Y: 0 = N – m∙g⋅cos α,

0Х: m⋅a₁ = F_tr + m⋅g⋅sin α,    m⋅a₂ = –F_tr + m⋅g⋅sin α,

где F_tr = μ⋅N, N = m⋅g⋅cos α (из проекции уравнения на ось 0Y). Тогда

m⋅a₁ = μ⋅m⋅g⋅cos α + m⋅g⋅sin α = m⋅g⋅(μ⋅cos α + sin α),

a₁ = g⋅(sin α + μ⋅cos α), (1)

a₂ = g⋅(sin α – μ⋅cos α). (2)

Найдем время подъема t₁. Запишем уравнение скорости

υ_x = υ_0x + a_x⋅t,

где υ_0x = υ₀, a_x = –a₁. В момент времени t = t₁ (когда тело достигло максимальной высоты) скорость тела υ_x = 0. Тогда, с учетом уравнения (1):
\[ 0=\upsilon _{0} -a_{1} \cdot t_{1}, \; \; \; t_{1} =\frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} =\frac{\upsilon _{0}}{g\cdot \left(\sin \alpha +\mu \cdot \cos \alpha \right)}, \]
t₁ = 2,0 с.

Найдем время спуска t₂. Тело, при движении вверх за время t₁ и вниз за время t₂, совершает одинаковое перемещение (Δr_1x = Δr_2x), причем при движении вверх υ_0x = υ₀, a_x = –a₁; при движении вниз υ_0x = 0, a_x = a₂.
\[ \Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2}}{2} =\frac{a_{2} \cdot t_{2}^{2}}{2}, \]
\[ t_{2} =\sqrt{\frac{1}{a_{2} } \cdot \left(2\upsilon _{0} \cdot t_{1} -a_{1} \cdot t_{1}^{2} \right)}. \]
Можно отдельно посчитать a₁ и a₂ и найти t₂, можно решить в общем виде:
\[ t_{2} =\sqrt{\frac{1}{a_{2}} \cdot \left(2\upsilon _{0} \cdot \frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} -a_{1} \cdot \left(\frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} \right)^{2} \right)} =\sqrt{\frac{1}{a_{2}} \cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}}{a_{1}}} =\frac{\upsilon _{0}}{g\cdot \sqrt{\sin ^{2} \alpha -\left(\mu \cdot \cos \alpha \right)^{2}}}, \]
t₂ = 3,0 с.