Решение: пусть
p0 – первоначальное давление воздуха,
S – площадь сечения трубки, тогда первоначальный объём воздуха в каждой из половинок трубки будет равен:
\[ V=\frac{L-l}{2}\cdot S, \]
После того, как трубку поставили вертикально, воздух в нижней половинке испытает изотермическое сжатие до давления
p1 и объёма
V1, а в верхней половинке изотермическое расширение до давления
p2 и объёма
V2. Воспользуемся законом Бойля – Мариотта:
P0V=p1V1=p2V2,
\[ {{p}_{0}}\cdot \frac{L-l}{2}\cdot S={{p}_{1}}\left( \frac{L-l}{2}-h \right)\cdot S={{p}_{2}}\left( \frac{L-l}{2}+h \right)\cdot S, \]
При этом столбик ртути находится в равновесии, поэтому
\[ {{p}_{1}}-{{p}_{2}}=\rho \cdot g\cdot l \]
Здесь ρ = 13600 кг/м
3 плотность ртути,
Составим систему уравнений, для удобства введём обозначение:
x =(L-l)/2.\[ \begin{array}{*{35}{l}}
{{p}_{1}}(x-h)={{p}_{2}}(x+h) & {} \\
{{p}_{1}}={{p}_{2}}+\rho gl & {} \\
{{p}_{0}}x={{p}_{2}}(x+h) & {} \\
\end{array} \]
Из первых двух, получим что:
\[ {{p}_{2}}=\frac{\rho gl}{2h}(x-h) \]
подставим в третье:
\[ {{p}_{0}}=\frac{\rho gl}{2hx}({{x}^{2}}-{{h}^{2}}) \]
p0 = 51 кПа
