На каждый шарик действуют сила тяжести (
m∙g), сила натяжения нити (
Т) и сила взаимодействия зарядов (
F).
1 случай (в воздухе). Запишем уравнение второго закона Ньютона (
a = 0) (рис. 1)
0X: F1 – T1∙sin φ = 0,
0Y: –m∙g + T1∙cos φ = 0,
где φ = α/2 (см. рис. 1). Тогда
T1∙sin φ = F1, T1∙cos φ = m∙g,
\[ {\rm tg}\frac{\alpha }{2} =\frac{F_{1} }{m\cdot g}. \; \; \; (1) \]
2 случай (в жидком диэлектрике, по условию выталкивающей силой пренебречь). Запишем уравнение второго закона Ньютона (рис. 2)
0X: F2 – T2∙sin γ = 0,
0Y: –m∙g + T2∙cos γ = 0,
где γ = β/2 (см. рис. 2). Тогда
T2∙sin φ = F2, T2∙cos φ = m∙g,
\[ {\rm tg}\frac{\beta }{2} =\frac{F_{2}}{m\cdot g}. \; \; \; (2) \]
По закону Кулона
\[ F_{1} =k\cdot \frac{q^{2} }{r_{1}^{2}}, \; \; \; F_{2} =k\cdot \frac{q^{2} }{\varepsilon \cdot r_{2}^{2}}, \; \; \; (3) \]
где
q — модуль заряда каждого шарика, ε — диэлектрическая проницаемость жидкости (для воздуха ε
1 = 1),
r1,
r2 — расстояния между шариками в воздухе и в жидкости соответственно. Как видно из рис. 1 и 2
\[ r_{1} = 2l\cdot \sin \frac{\alpha }{2}, \; \; \; r_{2} =2l\cdot \sin \frac{\beta }{2}, \; \; \; (4) \]
где
l — длина нити.
Решим систему уравнений (1)-(4). Например,
\[ \frac{{\rm tg\; }\alpha /2}{{\rm tg\; }\beta /2} =\frac{F_{1} }{F_{2}}, \; \; \; \frac{F_{1} }{F_{2} } =\frac{\varepsilon \cdot r_{2}^{2} }{r_{1}^{2}}, \]
\[ \varepsilon =\frac{F_{1} }{F_{2} } \cdot \left(\frac{r_{1} }{r_{2} } \right)^{2} =\frac{{\rm tg\; }\alpha /2}{{\rm tg\; }\beta /2} \cdot \left(\frac{2l\cdot {\rm sin\; }\alpha /2}{2l\cdot {\rm sin\; }\beta /2} \right)^{2} =\frac{{\rm tg\; }\alpha /2}{{\rm tg\; }\beta /2} \cdot \left(\frac{{\rm sin\; }\alpha /2}{{\rm sin\; }\beta /2} \right)^{2}, \]
ε = 1,7.
