За тело отсчета выберем точку, в которой находится пушка, ось 0
Х направим вправо, ось 0
Y — вверх (рис. 1).
Запишем уравнения координат для снаряда (вдоль оси 0
Х тело движется равномерно, вдоль 0
Y — с ускорением
g):
0Х: x = x0 + υ0x∙t,
\[ 0Y:\; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \]
где
y0 = 0,
x0 = 0, υ
0x = υ
0⋅cos α, υ
0y = υ
0⋅sin α,
gy = –g.
Пусть в некоторый момент времени
t =
t1 снаряд попадает в цель (точка
А), тогда
y = h, x = L. Получаем
L = υ0⋅cos α∙t1, (1)
\[ h=\upsilon _{0} \cdot {\rm sin\; }\alpha \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2}. \; \; \; (2) \]
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[ t_{1} =\frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } ,\; \; \; h=\upsilon _{0} \cdot {\rm sin\; }\alpha \cdot \frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } -\frac{g}{2} \cdot \left(\frac{L}{\upsilon _{0} \cdot {\rm cos\; }\alpha } \right)^{2}. \]
Из тригонометрии
\[ \frac{{\rm sin\; }\alpha }{{\rm cos\; }\alpha } ={\rm tg\; }\alpha, \; \; \; \frac{1}{{\rm cos}^{2} \alpha } =1+{\rm tg}^{2} \alpha. \]
Тогда
\[ h=L\cdot {\rm tg\; }\alpha -\frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } \cdot \left(1+{\rm tg}^{2} \alpha \right), \; \; \; \frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } \cdot {\rm tg}^{2} \alpha -L\cdot {\rm tg\; }\alpha +h+\frac{g\cdot L^{2} }{2\upsilon _{0}^{2} } =0. \]
Получили квадратное уравнение относительно tg α. Корни этого уравнения:
\[ {\rm tg\; }\alpha =\frac{L\cdot \upsilon _{0}^{2} \pm \sqrt{L^{2} \cdot \upsilon _{0}^{4} -g\cdot L^{2} \cdot \left(2h\cdot \upsilon _{0}^{2} +g\cdot L^{2} \right)} }{g\cdot L^{2}}. \]
Если выражение под корнем будет меньше нуля, то снаряд цели не достигнет.
