В трех одинаковых сообщающихся сосудах

[himik]

В трех одинаковых сообщающихся сосудах находится ртуть. В левый сосуд налили слой воды высотой h₁ = 180 мм, а в правый-высотой h₃ = 228 мм. На сколько сместится уровень ртути в среднем сосуде, если известно, что ртуть из левого и правого сосудов не вытесняется водой полностью. Плотность ртути ρ =13600 кг/м³.
Заранее спасибо.

[alsak]

Предупреждение для himik. Ваши последние задачи очень похожи на задачи какой-то олимпиады. Напоминаю, что на форуме

Запрещено:
4. Обсуждать задачи текущих олимпиад.

Вы подтверждаете, что это задача не из текущей олимпиады?
Если это все же олимпиадная задача (например, получу сообщение от ваших учителей или одноклассников) — вы будете забанины на все время.

[himik]

Это задачи из журнала "Квант". выпуск  1992 года №2.

[alsak]

Введем новые обозначения (рис. 1): h₃ — высота ртути в среднем сосуде над уровнем АВ, h₄ — высота ртути в левом сосуде над уровнем АВ.
Так как ниже уровня АВ однородная жидкость (ртуть), то давления в точках A, B и C будут равны:

p_A = p_B = p_C,

где p_A = ρ₂⋅g⋅h₁ + ρ⋅g⋅h₄, p_B = ρ₂⋅g⋅h₂, p_C = ρ⋅g⋅h₃. Тогда из p_B = p_C получаем

ρ₂⋅g⋅h₂ = ρ⋅g⋅h₃,   h₃ = ρ₂⋅h₂/ρ,   (1)

из p_A = p_B получаем

ρ₂⋅g⋅h₁ + ρ⋅g⋅h₄ = ρ₂⋅g⋅h₂,   h₄ = ρ₂⋅(h₂ – h₁)/ρ.   (2)

Так как жидкость (ртуть) несжимаема, то увеличение объема ртути в среднем сосуде ΔV₃ равно суммарному уменьшению объемов ртути в боковых сосудах, т.е.

ΔV₃ = ΔV₁ + ΔV₂ или

Δh = Δh₁ + Δh₂   (3)

(так как у всех трех сосудов одинаковая площадь поперечного сечения), где Δh — изменение уровня ртути в среднем сосуде, Δh₁ — изменение уровня ртути в левом сосуде, Δh₂ — изменение уровня ртути в правом сосуде (рис. 2). Составим еще два уравнения (см. рис. 2):

Δh + Δh₂ = h₃,   (4)

Δh + Δh₁ = h₃ – h₄.   (5)

Решим систему уравнений (3)-(5). Например,

h₃ = Δh₁ + 2Δh₂,   h₃ – h₄ = 2Δh₁ + Δh₂,

2h₃ – h₃ + h₄ = 3Δh₂,   Δh₂ = (h₃ + h₄)/3,

2h₃ – 2h₄ – h₃ = 3Δh₁,   Δh₁ = (h₃ – 2h₄)/3.

С учетом уравнений (1) и (2) получаем, что
\[ \Delta h=\frac{h_{3} -2h_{4}}{3} +\frac{h_{3} +h_{4}}{3} =\frac{2h_{3} -h_{4}}{3} =\frac{1}{3} \cdot \left(2\cdot \frac{\rho _{2} \cdot h_{2}}{\rho } -\frac{\rho _{2} \cdot \left(h_{2} -h_{1} \right)}{\rho } \right)=\frac{\rho _{2} \cdot \left(h_{2} +h_{1} \right)}{3\rho }, \]
Δh = 0,01 м.
Примечание. В условии еще необходимо знать плотность воды — ρ₂ = 1000 кг/м³.
PS Надо сразу и точнее указывать источник задачи: МГУ им. Ломоносова (Квант. — 1992. — № 2. — С. 61)