Репетиционное тестирование 2 этап 2011/2012

[alsak]

А нельзя ли проанализировать первые задачи А1-А9 (А6 уже обсуждалась).

А2. Вариант 1. На вал намотана тонкая нить, к свободному концу которой подвешена гирька. При равномерном движении гирьки за промежуток времени Δt = 9,0 с с вала отмоталась нить длиной l = 1,2 м. Если частота вращения вала ν = 60 об/мин, то его радиус R равен:

1) 2,9 см; 2) 2,7 см; 3) 2,5 см; 4) 2,3 см; 5) 2,1 см.

А2. Вариант 2. Если на вал радиусом R = 10 см, вращающийся с постоянной скоростью, за промежуток времени Δt = 5,3 с намоталась нить длиной l = 4,0 м, то частота ν вращения вала равна:

1) 1,2 с^–1; 2) 2,4 с^–1; 3) 3,0 с^–1; 4) 4,8 с^–1; 5) 5,0 с^–1.

Решение. Так как нитка движется равномерно, то ее скорость υ можно найти через длину нити l

υ = l/Δt

или через частоту вращения

υ = 2π⋅R⋅ν.

Тогда

l/Δt = 2π⋅R⋅ν

Вариант 1. Частота ν = 60 об/мин = 1 Гц и в итоге получаем
\[ R=\frac{l}{2\pi \cdot \nu \cdot \Delta t}, \]
R = 2,1⋅10^–2 м.
Ответ. 5) 2,1 см.

Вариант 2. В итоге получаем
\[ \nu =\frac{l}{2\pi \cdot R\cdot \Delta t}, \]
ν = 1,2 Гц.
Ответ. 1) 1,2 с^–1.

[alsak]

А1. Вариант 1. Единицей измерения импульса тела в СИ является:

1) кг⋅м/с; 2) кг⋅м²/с²; 3) кг⋅м/с²; 4) кг/м²; 5) кг⋅м.

Решение. По определению импульс равен

p = m⋅υ

и измеряется

[p] = [m]⋅[υ] = кг⋅м/с.

Ответ. 1) кг⋅м/с.

А1. Вариант 2. Единицей измерения энергии в СИ является:

1) кг⋅м/с; 2) кг⋅м²/с²; 3) кг⋅м/с²; 4) кг/м²; 5) кг⋅м.

Решение. Здесь можно выбрать одну из формул энергий, в которую входит масса (т.к. в предложенных ответах есть килограммы), и по ней определить единицу измерения. Например, кинетическая энергия
\[ W_{k}=\frac{m\cdot \upsilon^{2}}{2}, \]

[W_k] = [m]⋅[υ²] = кг⋅м²/с².

Ответ. 2) кг⋅м²/с².

[Kivir]

А11, Вариант 1.    Электронагреватель, сопротивление спирали которого R = 24 Ом, за промежуток времени Δt = 5,0 мин испарил некоторую массу воды (L = 2,3 МДж/кг) при температуре кипения. Если коэффициент полезного действия нагревателя η = 71%, а сила тока в его спирали I = 9,0 А, то масса m испарившейся воды равна:

1) 0,11 кг;     2) 0,15 кг;     3) 0,18 кг;    4) 0,25 кг;      5) 0,30 кг;

А11, Вариант 2.    Электронагреватель, сопротивление спирали которого R = 20 Ом, за промежуток времени Δt = 5,0 мин испарил воду (L = 2,3 МДж/кг) массой m = 0,10 кг при температуре кипения. Если коэффициент полезного действия нагревателя η = 60%, то сила тока I в его спирали равна:

1) 4,0 А;     2) 6,0 А;     3) 8,0 А;    4) 10 А;      5) 12 А;

Решение:  начнём, пожалуй, с коэффициента полезного действия – он численно равен отношению полезной работы к затраченной.

η = A_{полезн.}/ A_затр.

Электронагреватель совершает полезную работу – испаряет воду (при этом нагревать воду до температуры кипения ненужно: по условию), т.е. сообщает ей количество теплоты, необходимое для парообразования.

A_{полезн.} = Q = L∙m,

L – удельная теплота парообразования воды (приведена в условии), m – масса испарившейся воды. При этом нагреватель потребляет электроэнергию, поэтому затраты равны работе тока, текущего по спирали, за время испарения воды. 

A_затр. = I²∙R∙Δt ,

I- сила тока, идущего по спирали, сопротивлением R.Получаем КПД:

η = (L∙m)/(I²∙R∙Δt).

Вариант 1:

m = ( η∙I²∙R∙Δt) /L.

Вариант 2:

I² = (L∙m)/(η∙R∙Δt).

Ответ: Вариант 1: 3) 0,18 кг
    Вариант 2: 3) 8 А.

[Kivir]

А10, Вариант 1.  Если при изобарном (p = 0,1 МПа) нагревании идеальному одноатомному газу передали количество теплоты Q = 1 кДж, то изменение объёма ΔV газа равно: 

1) 1 л;     2) 2 л;     3) 3 л;    4) 4 л;      5) 5 л;

А10, Вариант 2. Если при изобарном нагревании идеальному одноатомному газу передали количество теплоты Q = 3 кДж, если при этом его  объём увеличился на  ΔV = 4 л, то давление p газа равно: 

1) 0,7 МПа;     2) 0,6 МПа;     3) 0,5 МПа;    4) 0,4 МПа;      5) 0,3 МПа;

Решение: процесс, протекающий с газом  - изобарный (по условию). Сообщённое количество теплоты уйдёт на изменение внутренней энергии и совершение работы газом против внешних сил (первый закон термодинамики).

Q = ΔU + A,

Изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа:

ΔU = 3/2 ∙ν∙R∙ΔT,

здесь: ν – количество вещества, R=8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная, ΔT – изменение абсолютной температуры.
Работа идеального газа при изобарном процессе:

A = p∙ΔV = ν∙R∙ΔT,

p – давление, ΔV- изменение объёма.
Получаем:

Q = 3/2 ∙ν∙R∙ΔT + ν∙R∙ΔT = 5/2 ∙ν∙R∙ΔT=5/2∙ A,

Q = 5/2∙ p∙ΔV,

Вариант 1:

ΔV= (2∙Q)/(5∙p).

Вариант 2: 

p = (2∙Q)/(5∙ΔV).

Ответ: Вариант 1:  4) 4л.
    Вариант 2: 5) 0,3 МПа.

[Kivir]

А5, Вариант 1.  При исследовании упругих свойств пружины школьник получил представленные в таблице результаты измерений модуля силы упругости F_упр пружины и соответствующие силе удлинения Δl пружины

Fупр, Н	0	0,5	1,0	1,5	2,0
Δl, см	0	1,0	2,0	3,0	4,0

Жёсткость k пружины равна:

1) 0,5 Н/м;     2) 5,0 Н/м;     3) 15 Н/м;    4) 50 Н/м;      5) 0,5 кН/м.

А5, Вариант 2. На рисунке представлен график зависимости модуля силы упругости F_упр пружины от величины её деформации Δl , полученный школьником при изучении упругих свойств пружины. Жёсткость k пружины равна:

1) 0,5 Н/м;     2) 5,0 Н/м;    3) 15 Н/м;    4) 50 Н/м;   5) 0,5 кН/м.

Решение: сила упругости подчиняется закону Гука: сила упругости, возникающая в теле при деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации:

F_упр = k∙Δl,

Искомая жесткость пружины:

k = F_упр /Δl,

из таблицы (вариант 1) или из графика (вариант 2) выбираем данные. Например: F_упр = 1 Н,  Δl = 2 см = 0,02 м.
ответ одинаковый для обоих вариантов: 4) 50 Н/м.

[alsak]

А3. Вариант 1. Мотоциклист начал движение с ускорением, модуль которого a_m = 0,50 м/с², в тот момент, когда мимо него проехал равномерно движущийся велосипедист, модуль скорости которого υ_b = 36 км/ч. Мотоциклист догонит велосипедиста через промежуток времени Δt, равный:

1) 10 с; 2) 20 с; 3) 30 с; 4) 40 с; 5) 50 с.

А3. Вариант 2. Мотоциклист начал движение в тот момент, когда мимо него проехал равномерно движущийся велосипедист, модуль скорости которого υ_b = 18 км/ч. Если через промежуток времени Δt = 20 с мотоциклист догонит велосипедиста, то модуль ускорения a_m мотоциклиста равен:

1) 90 см/с²; 2) 75 см/с²; 3) 60 см/с²; 4) 55 см/с²; 5) 50 см/с².

Решение. Запишем уравнения движения двух тел
\[ x_{b} =x_{0b} +\upsilon _{0bx} \cdot t+\frac{a_{bx} \cdot t^{2}}{2}, \; \; \; x_{m} =x_{0m} +\upsilon _{0mx} \cdot t+\frac{a_{mx} \cdot t^{2}}{2}. \]
За начало отсчета времени примет тот момент, когда мимо мотоциклиста проехал велосипедист, за тело отсчета — начальное положение мотоциклиста (рис. 1). Тогда

x_0b = 0,   υ_0bx = υ_b,   a_bx = 0

(велосипедист ехал равномерно),

x_0m = 0,   υ_0mx = 0,   a_mx = a_m

(мотоциклист начал движение с ускорением). После подстановки в уравнения движения получаем
\[ x_{b} =\upsilon _{b} \cdot t, \; \; \; x_{m} =\frac{a_{m} \cdot t^{2} }{2}. \]
Так как через промежуток времени Δt мотоциклист догонит велосипедиста, то их координаты сравняются, т.е.
\[ \upsilon _{b} \cdot \Delta t=\frac{a_{m} \cdot \Delta t^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{b} =\frac{a_{m} \cdot \Delta t}{2}. \]
Вариант 1.

Δt = 2υ_b/a_m,

Δt = 40 c.
Ответ. 4) 40 с.

Вариант 2.

a_m = 2υ_b/Δt,

a_m = 0,5 м/c².
Ответ. 5) 50 см/с².

[alsak]

А4. Вариант 1. Тело свободно падает с высоты h = 80 м. Если начальная скорость тела равна нулю, то модуль средней скорости перемещения <υ> тела равен:

1) 8,0 м/с; 2) 10 м/с; 3) 12 м/с; 4) 15 м/с; 5) 20 м/с.

А4. Вариант 2. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты h. Если модуль средней скорости перемещения тела <υ> = 15 м/с, то высота h равна:

1) 50 м; 2) 45 м; 3) 30 м; 4) 25 м; 5) 10 м.

Решение. Направим ось 0Y вверх, за нулевую высоту примем поверхность земли (на которую падает тело) (рис. 1). Тогда уравнение движения тела вдоль оси 0Y будет иметь вид:

y = h – g⋅t²/2.

В момент падения на землю t = t_n координата y = 0. Тогда
\[ 0=h-\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2}, \; \; \; t_{n} =\sqrt{\frac{2h}{g} }. \; \; \; (1) \]
Средняя скорость перемещения равна (с учетом уравнения (1))
\[ \left\langle \upsilon \right\rangle =\frac{\Delta r_{y} }{\Delta t} =\frac{h}{t_{n}} =\sqrt{\frac{g\cdot h}{2}}. \]

Вариант 1. <υ> = 20 м/с.
Ответ. 5) 20 м/с.

Вариант 2.

h = 2<υ>²/g,

h = 45 м.
Ответ. 2) 45 м.

[Kivir]

А9, Вариант 1. В комнате объёмом V = 52,4 м³ температура воздуха (М = 29,0 г/моль) понизилась от T₁ = 290 К до T₂ = 281 К. Атмосферное давление p₀ = 100 кПа. Масса воздуха в комнате:
1) увеличилась на 2 кг;
2) уменьшилась на 2 кг;
3) не изменилась;
4) увеличилась на 1 кг;
5) уменьшилась на 1 кг.

1) 1;     2) 2;     3) 3;    4) 4;      5) 5.

А9, Вариант 2. В комнате объёмом V = 46,6 м³ температура воздуха (М = 29,0 г/моль) повысилась от T₁ = 290 К до T₂ = 301 К. Атмосферное давление p₀ = 100 кПа. Масса воздуха в комнате:
1) увеличилась на 2 кг;
2) уменьшилась на 2 кг;
3) не изменилась;
4) увеличилась на 1 кг;
5) уменьшилась на 1 кг.

1) 1;     2) 2;     3) 3;    4) 4;      5) 5.

Решение: воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева:

\[ p\cdot V=\frac{m}{M}\cdot R\cdot T, \]

Здесь R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная. Выразим массу воздуха:

\[ m=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}, \]

Тогда, записав для двух состояний, найдём изменение массы:

\[ {{m}_{2}}-{{m}_{1}}=\Delta m=\frac{{{p}_{0}}\cdot V\cdot M}{R\cdot {{T}_{2}}}-\frac{{{p}_{0}}\cdot V\cdot M}{R\cdot {{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{0}}\cdot V\cdot M}{R}\cdot \left( \frac{1}{{{T}_{2}}}-\frac{1}{{{T}_{1}}} \right). \]

Ответ: Вариант 1: Δm = 2 кг. 1) увеличилась на 2 кг.
          Вариант 2:  Δm = – 2 кг  2) уменьшилась на 2 кг;

[alsak]

А7. Вариант 1. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой υ = 20 м/с, разорвалось на два осколка массами m₁ = 10 кг и m₂ = 5,0 кг. Модуль скорости меньшего осколка сразу после разрыва υ₂ = 90 м/с. Если скорость υ₂ направлена так же, как скорость υ, то модуль скорости υ₁ большего осколка сразу после разрыва равен:

1) 85 м/с; 2) 75 м/с; 3) 35 м/с; 4) 25 м/с; 5) 15 м/с.

А7. Вариант 2. Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой υ = 35 м/с, разорвалось на два осколка массами m₁ = 12 кг и m₂ = 6,0 кг. Модуль скорости большего осколка сразу после разрыва υ₁ = 96 м/с. Если скорость υ₁ направлена так же, как скорость υ, то модуль скорости υ₂ меньшего осколка сразу после разрыва равен:

1) 87 м/с; 2) 75 м/с; 3) 34 м/с; 4) 28 м/с; 5) 15 м/с.

Решение. Запишем закон сохранения импульса:
\[ m\cdot \vec{\upsilon }=m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} +m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]
где m = m₁ + m₂.
Вариант 1.

0Х: (m₁ + m₂)⋅υ = m₁⋅υ_1x + m₂⋅υ₂ (рис. 1).

Направление скорости υ₁ неизвестно, но эта скоростью должна быть направлена параллельно оси 0Х (это не сложно доказать, если рассмотреть проекцию закона сохранения импульса на вертикальную ось). Тогда
\[ \upsilon _{1x} =\frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon -m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1}}, \]
υ_1x = –15 м/с. Знак «–» указывает на то, что этот осколок полетит в противоположную сторону оси 0Х.
Ответ. 5) 15 м/с.

Вариант 2.

0Х: (m₁ + m₂)⋅υ = m₁⋅υ₁ + m₂⋅υ_2x (рис. 2).

Направление скорости υ₂ неизвестно, но эта скоростью должна быть направлена параллельно оси 0Х (это не сложно доказать, если рассмотреть проекцию закона сохранения импульса на вертикальную ось). Тогда
\[ \upsilon _{2x} = \frac{\left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot \upsilon -m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{2}}, \]
υ_2x = –87 м/с. Знак «–» указывает на то, что этот осколок полетит в противоположную сторону оси 0Х.
Ответ. 1) 87 м/с.

[alsak]

А8. Вариант 1. На рисунке 1 представлена зависимость объема V идеального газа, количество вещества которого постоянно, от температуры Т. В координатах p-V график этих процессов будет иметь вид, показанный на рисунке 2:

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

Решение. Так как количество вещества газа постоянно, то на графике рис. 1 изображены изопроцессы. Определим название каждого изопроцесса.
1-2. График представляет собой прямую, перпендикулярную оси Т, следовательно, это изотермический процесс. В осях p(V) график этого процесса изображается в виде гиперболы, следовательно, это графики 4 или 5.
2-3. График представляет собой прямую, перпендикулярную оси V, следовательно, это изохорный процесс. В осях p(V) график этого процесса также изображается в виде перпендикуляра к оси V, следовательно, это график 4.
Для контроля можно определить последний процесс.
3-1. Так как в осях V(Т) график представляет собой прямую, проходящую через начала координат, то это график изобарного процесса. В осях p(V) график этого процесса изображается в виде перпендикуляра к оси p, следовательно, наш выбор графика 4 правильный.
Ответ. 4) 4.