Цепь лежит на столе, одним концом свисая со стола

[eirine]

Помогите, пожалуйста.
Цепь длиной L = 2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает L/6, то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость цепи в момент ее отрыва от стола.

[alsak]

Пусть m — масс цепи длиной L, тогда масса свешивающейся части цепи длиной L/6 будет равна m₁ = m/6.
Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность стола.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии (рис. 1)

W₀ = m₁⋅g⋅h₀,

где h₀ = –L/12 — высота, на которой находился центр тяжести свешивающейся части цепи (h₀ < 0, т.к. находится ниже нулевой высоты). Тогда
\[ W_{0} =-\frac{m}{6} \cdot g\cdot \frac{L}{12} =-\frac{m\cdot g\cdot L}{72}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (рис. 2)
\[ W=m\cdot g\cdot h+\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2}, \]
где h = –L/2. Тогда
\[ W=-\frac{m\cdot g\cdot L}{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}. \]

Так как нет внешних сил, то

W₀ = W или

\[ -\frac{m\cdot g\cdot L}{72} =-\frac{m\cdot g\cdot L}{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \;\;\; \upsilon =\sqrt{\frac{35\cdot g\cdot L}{36}}, \]
υ = 4,4 м/с.

Примечание. В данном решении не учитывается сила трения. На самом деле эта сила должна быть, иначе цепочка начала бы скольжение при малейшем свешивании цепочки (а по условии, эта часть составляет 1/6 длины).

Спасибо kiviry за подсказку

[alsak]

Решение с учетом силы трения.
Рассмотрим силы, действующие на цепочку в начальный момент времени. На вертикальную часть цепочки действуют сила тяжести (m₁⋅g) и сила упругости (T₁), на горизонтальную — сила тяжести (m₂⋅g), сила упругости (T₂), сила трения (F_tr0) и сила реакции опоры (N) (рис. 3). Так как в этот момент цепочка еще не движется, то

F_tr0 = T₂,   T₁ = m₁⋅g,

где T₂ = T₁ (т.к. цепочка неподвижна). Тогда

F_tr0 = m₁⋅g.

Так как F_tr = μ⋅m₂⋅g (m₂ — масса горизонтальной части цепочки), то получаем, что:
1) в конечный момент времени (когда вся цепочка отрывается от горизонтальной поверхности) F_tr = 0;
2) сила трения линейно зависит от длины горизонтальной части l₂ цепочки (m₂ = m⋅l₂/L), где l₂ = 5/6L.

Работа силы трения при соскальзывании цепочки будет равна
\[ A_{tr} =-\left\langle F\right\rangle \cdot l_{2} =-\frac{m_{1} \cdot g}{2} \cdot \frac{5}{6} L=-\frac{m\cdot g}{12} \cdot \frac{5}{6} L=-\frac{5}{72} m\cdot g\cdot L \]
(такой же результат вы получите, используя другие методы расчета работы, например, интегрирования).
С другой стороны работы силы трения равна

A_tr = W – W₀ или

\[ -\frac{5}{72} m\cdot g\cdot L=-\frac{m\cdot g\cdot L}{2} +\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} +\frac{m\cdot g\cdot L}{72} ,\; \; \; \upsilon =\sqrt{\frac{30\cdot g\cdot L}{36}}, \]
υ = 4,1 м/с.