На катер действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости

[Mariyam]

На катер действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости катера. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя, чтобы скорость катера возросла в 2 раза?

[alsak]

На катер действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила сопротивления (F_с) и сила тяги двигателя (F) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона:
\[ 0=\vec{N}+\vec{F}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{c}, \]

0Х:   0 = F – F_с,

где F_с = k∙υ², т.к. сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости, k — коэффициент пропорциональности. Тогда

F = F_с = k∙υ².   (1)

Пусть в некоторый момент времени катер при силе тяги F₁ двигался с постоянной скоростью υ₁, а при силе тяги F₂ — с постоянной скоростью υ₂. Тогда мощности двигателя в каждом из этих случаев равны:

P₁ = F₁∙υ₁,   P₂ = F₂∙υ₂,

где υ₂ = 2υ₁.
С учетом уравнения (1) получаем:
\[ \frac{P_{2} }{P_{1} } =\, \frac{F_{2} \cdot \upsilon _{2}}{F_{1} \cdot \upsilon _{1}} =\frac{k\cdot \upsilon _{2}^{3}}{k\cdot \upsilon _{1}^{3}} =\frac{\upsilon _{2}^{3} }{\upsilon _{1}^{3}} =\frac{\left(2\cdot \upsilon _{1} \right)^{3}}{\upsilon _{1}^{3}} =8. \]
Мощность необходимо увеличить в 8 раз.