Если даже шарики висят вплотную друг к другу, их взаимодействие можно рассматривать как последовательность отдельных соударений друг с другом. Рассмотрим эти столкновения.
Так как шарики упругие, то будет наблюдаться упругий удар при котором выполняется как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механическая энергия.
1 столкновение: первого шарика массой
m1 со вторым (центральным) массой
m2 (рис. 1).
Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара второй шарик начнет двигаться вправо (учтем, что
m1 =
m2):
0X: m1∙υ0 = m1∙υ1x + m2∙υ02, υ0 = υ1x + υ02, (1)
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} =\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1x}^{2}}{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{02}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{0}^{2} = \upsilon _{1x}^{2} +\upsilon _{02}^{2}. \; \; \; (2) \]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[ \upsilon _{1x} =\upsilon _{0} -\upsilon _{02}, \; \; \; \upsilon _{0}^{2} = \left(\upsilon _{0}^{2} -2\upsilon _{0} \cdot \upsilon _{02} +\upsilon _{02}^{2} \right)+\upsilon _{02}^{2}, \]
υ02 = υ0, υ1x = 0. (3)
2 столкновение: второго шарика массой
m2 с третьим массой
m3 (рис. 2).
Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара третий шарик начнет двигаться вправо (учтем, что
m2 =
m3):
0X: m2∙υ02 = m2∙υ2x + m3∙υ3, υ02 = υ2x + υ3, (4)
\[ \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{02}^{2}}{2} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2x}^{2}}{2} +\frac{m_{3} \cdot \upsilon _{3}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{02}^{2} =\upsilon _{2x}^{2} +\upsilon _{3}^{2}. \; \; \; (5) \]
Решим систему уравнений (4) и (5), и учтем (3)
\[ \upsilon _{2x} =\upsilon _{02} -\upsilon _{3}, \; \; \; \upsilon _{02}^{2} =\left(\upsilon _{02}^{2} -2\upsilon _{02} \cdot \upsilon _{3} +\upsilon _{3}^{2} \right)+\upsilon _{3}^{2}, \]
υ3 = υ02 = υ0, υ2x = 0.
Получили, что после удара отскакивает только третий шарик, остальные остаются на месте. Такой же результат и в книге
Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. — М., Наука, 1989. — C. 98-99.Примечание. Откуда взялся ответ, предложенный в журнале, непонятно.
\[ \upsilon _{1} =-\frac{\upsilon _{0}}{5}, \; \; \; \upsilon _{2} =\upsilon _{3} =\frac{2\upsilon _{0} \cdot \sqrt{3}}{5} ? \]
