До какой температуры надо нагреть алюминиевый куб, чтобы он полностью погрузился

[Ваня]

До какой температуры надо нагреть алюминиевый куб, чтобы он, будучи положен на лед, полностью в него погрузился? Температура льда 0 °С, c_a = 836 Дж/(кг∙К), плотность алюминия 2700 кг/м³. Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг, плотность льда 920 кг/м³.

[alsak]

Происходит теплообмен между двумя телами (алюминий при температуре t₁ и лед при температуре t₂ = 0 °C). Так как куб должен погрузиться в лед, а лед расплавится не весь, то конечная температура системы должна быть равна температуре льда, т.е. t₃ = t₂ = 0 °C.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0,

где Q₁ = c_a∙m_a∙(t₂ – t₁) — количество теплоты, которое отдает куб массой m_a (Q₁ < 0, т.к. тело отдает тепло), m_a = ρ_a∙V_a, V_a — объем куба.
Лед взят при температуре плавления, поэтому он сразу начинает плавиться. Тогда Q₂ = m₂∙λ (Q₂ > 0, т.к. тело получает тепло), m₂ = ρ₂∙V₂ — масса расплавившегося льда. Так как куб полностью погрузится в лед, то V_a ≥ V₂ (будем искать минимальную температура, при которой V_a = V₂). Тогда

c_a∙ ρ_a∙V_a∙(t₂ – t₁) + ρ₂∙V_a∙λ = 0,

\[t_{1} = t_{2} + \frac{\rho _{2} \cdot \lambda }{c_{a} \cdot \rho _{a}}, \]
t₁ = 135 °C