На поверхность стеклянного шара нанесена чёрная точка.....

[lelik]

буду благодарен за помощь в решении такой вот задачи:
На поверхность стеклянного шара радиусом R = 4 см нанесена чёрная точка, которую рассматривают с диаметрально противоположной стороны. Если расстояние от центра шара до изображения точки L = 16 cм , то абсолютный показатель преломления стекла n равен ...

[alsak]

Пусть черная точка — это точка А (рис. 1). Найдем построением ее изображение: луч 1 направим через центр шара (точка О), луч 2 под малым углом α к прямой АО (на рисунке угол для наглядности увеличен). Пересечением этих лучей будет точка А', которая и является изображением точки А.
Треугольник ΔAOB равнобедренный (OA = OB = R), поэтому углы BAO = OBA = α.
Из треугольника ΔAA'B получаем

β + A'AB + ABA' = 180° или

β + (180° – α) + (γ – α) = 180°,

β = 2α – γ.   (1)

Углы α и γ связаны соотношением
\[\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma } =\frac{1}{n}. \; \; \; (2)\]
Рассмотрим два прямоугольного треугольника ΔBCA и ΔBCA´:

BC = CA∙tg α = CA´∙tg β,   (3)

где CA´ = CO + L.
Так как угол α мал (и β), то:
1) tg α = sin α = α, tg β = sin β = β, sin γ = γ.
Тогда из уравнения (2) и (1) получаем, что

γ = n∙α, β = α∙(2 – n).

2) CO= R.
Тогда

CO = R, CA = 2R, CA´ = R + L.

После подстановки в уравнение (3) получаем:

2R∙α = (R + L)∙α∙(2 – n),

\[n=2-\frac{2R}{R+L}=\frac{2L}{R+L},\]
n = 1,6.

[lelik]

Спаси6о!!!