Зданович В.М. О решении задач, содержащих взаимосвязанные величины

Автор рассматриваем наиболее распространенные ошибки в задачах с так называемыми взаимосвязанными величинами, т.е. величинами, составляющие вместе одно целое, причем изменение одной из них в сторону увеличения или уменьшения вызывает такое же уменьшение или увеличение другой.

Еще раз убедиться в том, что математика облегчает понимание физики, а хорошая математическая подготовка позволяет избежать неправильных результатов при решении физических задач, можно, если обратиться к следующему примеру. Рассмотрим всем нам хорошо известную задачу из статики: «Стержень длиной 9 м и массой 90 кг расположен на опоре так, что левая его часть имеет длину на 25% большую, чем правая часть. Какой груз нужно подвесить к правому концу стержня, чтобы он находился в равновесии?»

При решении этой задачи ученику обычно приводят следующее решение: пусть длина правой части l_п = х,тогда длина левой части стержня l_л = 1,25х. Составим уравнение: x+ 1,25х = 9, откуда l_п= 9/2,25 = 4 м. Масса правой части m_п = 40 кг. Соответственно длина и масса левой части стержня: l_л= 5 м, m_л = 50 кг. Выполняется чертеж с указанием точек приложения и направления сил (рис. 1) и записывается уравнение равновесия:

из которого следует, что

Рис. 1.

После подстановки чисел получаем:

С точки зрения физики все решено правильно (составлен чертеж, на котором указаны точки приложения и направления сил, правильно записано уравнение равновесия, выведена конечная формула), а ответ получен неверный.

Все дело в том, что в условие рассмотренной задачи входят так называемые взаимосвязанные величины, т.е. величины, составляющие вместе одно целое, причем изменение одной из них в сторону увеличения или уменьшения вызывает такое же уменьшение или увеличение другой. Ошибка допускается в самом начале рассуждений. Длины и массы левой и правой частей стержня – взаимосвязанные величины, поэтому необходимо принять всю длину стержня за 100%. Если длина правой части составляет х%от длины стержня, то длина левой части будет х% + 25%. Записываем уравнение: х% + х% + 25% = 100%. Откуда х = 37,5%, т.е. длина правой части составляет 37,5% от длины всего стержня и равна l_п= 9·0,375 = 3,375 м, а l_л = 5,625 м. Соответственно массы правой и левой частей: m_п= 33,75 кг и m_л= 56,25 кг. Подставив эти числа в конечную формулу, получим правильный ответ:

Очевидно, что ответы очень существенно отличаются.

Задачи, содержащие взаимосвязанные величины, могут встретиться при изучении всех разделов физики и надо обратить на них внимание учеников, чтобы избежать досадных ошибок. Для этого целесообразно в конце XIкласса при повторении материала отвести специальный урок на их решение. Привожу примеры задач для такого урока.

1. Снаряд, летевший со скоростью 800 м/с, разрывается на два осколка, причем масса одного из них на 15% меньше массы другого. Меньший осколок летит в прежнем направлении со скоростью 700 м/с. Найдите величину и направление скорости второго осколка.

2. По дороге навстречу друг другу движутся автобус и грузовик. Скорость движения автобуса относительно грузовика 160 км/ч. Найдите величину собственной скорости автобуса, если она на 20% больше собственной скорости грузовика.

3. С какой начальной высоты нужно выстрелить из винтовки, чтобы свинцовая пуля, вылетевшая с начальной скоростью 800 м/с и начальной температурой 20 °С, при ударе о препятствие расплавилась? Считайте, что выделившаяся при ударе пули энергия разделилась так, что на нагрев пули пошло на 30% больше энергии, чем на нагрев препятствия.

4. Тело плавает в воде так, что объем части, погруженной в воду на 25%, больше объема не погруженной в воду части. Определите плотность вещества тела.

5. Определите КПД теплового двигателя, для которого полезная работа на 10% больше количества теплоты, переданной холодильнику.

6. Заряженный конденсатор емкостью 40 пФ замкнули на катушку индуктивности в 0,01 Гн. Через какое минимальное время после подключения энергия электрического поля конденсатора будет на 40% меньше энергии магнитного поля катушки индуктивности?

7. Расстояние от точечного источника света до экрана равно 1 м. Расстояние от линзы до экрана на 25% больше расстояния от источника света до линзы. При этих условиях на экране получается четкое изображение источника. Определите фокусное расстояние линзы.

8. Полная энергия электрона в атоме водорода 13,6 эВ. Определите кинетическую энергию электрона, если она на 15% меньше его потенциальной энергии.