Акуленко В.Л. О некоторых аспектах работы с векторными величинами

Неумение учащихся оперировать векторными величина обусловлено двумя главными причинами. Во-первых, это малое количество задач на сложение и вычитание векторных величин. В большинстве школьных задач соответствующие операции проводятся над коллинеарными векторами. Во-вторых, это зачастую небрежное отношение к векторным величинам авторов-составителей учебных пособий. Об этих недостатках и пойдет речь.

В третьем номере нашего журнала была опубликована статья Е.В.Абазовской «Анализ итогов централизованного тестирования по физике за 2002 год». В конце данной работы обнаруживаем следующий список:

Учащиеся не умеют:

• выполнять математические преобразования физических величин;

• работать с графиками зависимости физических величин;

• переводить единицы физических величин в единицы СИ;

• выполнять действия со степенями;

• находить геометрическую сумму векторов;

• применять тригонометрические умения к физическим задачам.

Невольно складывается впечатление, что отсутствие вышеперечисленных умений учащихся является скорее результатом недоработки учителей математики, чем их коллег – физиков. Безусловно, такая проблема существует. Что-то здесь объясняется поверхностным характером изучения соответствующего материала в школьном курсе математики, что-то – несогласованностью учебных программ физики и математики.

Совсем по-иному обстоит дело с изучением векторных величин. Неумение учащихся оперировать ими, на мой взгляд, обусловлено двумя главными причинами. Во-первых, это малое количество задач на сложение и вычитание векторных величин. В большинстве школьных задач соответствующие операции проводятся над коллинеарными векторами. Во-вторых, это зачастую небрежное отношение к векторным величинам авторов-составителей учебных пособий. Об этих недостатках и пойдет речь ниже.

Начать разговор хотелось бы с такой векторной величины, как скорость.

В седьмом параграфе школьного учебника физики девятого класса [1] имеется такое определение: «Равномерное движение – это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью». Вполне понятно желание авторов лишний раз подчеркнуть то обстоятельство, что скорость является постоянной при неизменности как ее модуля, так и ее направления. Но в данном контексте вместо подчеркивания получается перечеркивание. Равномерному движению вполне достаточно было дать следующее определение: «Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью». Неизменность модуля и направления постоянной скорости следует из определения скорости, как векторной величины.

Весьма распространенным явлением в современных изданиях по физике является подмена понятия «скорость» на «модуль скорости». Так, в учебнике для девятого класса [1] находим такую задачу (упр. 12, № 2):

«Тигр прыгает горизонтально с утеса со скоростью 7,0 м/с. Какую скорость будет иметь тигр через 0,6 с своего движения?»

К данной задаче авторы приводят такой ответ: «u= 9,2 м/с». Несложно убедиться, что перед нами лишь половина ответа – модуль скорости. Для ответа на вопрос данной задачи следовало привести как модуль скорости, так и ее направление, задаваемое углом между вектором скорости и горизонталью.

Замечу, что бывают случаи, когда вполне допустимо указывать лишь модуль скорости. Я имею в виду задачи, в которых направление искомой скорости указывается в условиях. В основном это задачи на прямолинейное движение. Но и здесь имеются свои нюансы. Рассмотрим это на примере одной из задач популярного электронного издания «1С: Репетитор. Физика» [2]:

«Камень брошен по вертикали с высоты Н. В момент времени tон оказался на высоте Н/2. Найти начальную скорость камня.

Введите ответ (с точностью до целого) для: Н = 100 м, t = 5 с».

Ответ, приведенный авторами, выглядит следующим образом:

Разумеется, данный ответ был бы достаточным, если бы в условии было оговорено, вверх или вниз брошен камень. При отсутствии же такого уточнения направление скорости является принципиально важным.

К сожалению, данная проблема не обошла стороной и наш журнал [3].

Рассмотрим такую задачу:

«Камень брошен с высоты h = 2 м под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью u₁ = 6м/с. Найдите скорость камня в момент падения его на землю, пренебрегая сопротивлением воздуха».

Решая задачу, используя закон сохранения энергии, авторы приводят такой ответ:

Очевидно, авторы дают лишь часть ответа – модуль скорости, направление же ее не указывается, а, следовательно, задача не решена – скорость камня не найдена. Более того, найти направление скорости в данной задаче не представляется возможным из-за неопределенности угла бросания камня. Следовательно, имеет место некорректная постановка вопроса задачи.

Понятно, что авторы, формулируя условие задачи, ставили своей главной целью проверку учащимися знания закона сохранения энергии и умения применять этот закон на практике. Но в любом случае отработка знаний и умений по одной теме не должна искажать общую физическую картину.

Подобной двусмысленности можно было легко избежать, потребовав в задаче найти не скорость камня, а модуль этой скорости.

Итак, подчеркнем еще раз, определить скорость – значит найти ее модуль и указать ее направление.

С досадой приходится отмечать, насколько небрежно в последние годы многие авторы относятся к иллюстративному материалу учебных пособий. Очень часто изображаемые авторами векторы вступают в противоречия со смыслом иллюстрируемых ими задач, а нередко – и с законами Ньютона. Переходя к конкретным примерам, справедливости ради должен заметить, что ошибки, речь о которых пойдет ниже, возможно, возникли на стадии набора текста, что, впрочем, не делает проблему менее острой.

Считая излишним воспроизводить искажающие физический смысл рисунки, ограничусь лишь ссылками на соответствующие источники, наверняка имеющиеся у читателей нашего журнала.

Итак, источник первый – учебник физики девятого класса [1]. На рисунке 112 вектор силы трения покоя на треть превосходит по длине вектор силы, приложенной к покоящемуся телу параллельно поверхности соприкосновения его с другим телом. На том же рисунке вектор силы тяжести заметно превосходит по длине вектор силы нормальной реакции опоры. Аналогичные ошибки содержатся и во многих других рисунках данного учебника (например, в рисунках 116, 118, 133, 145, 165).

Второй источник – продолжение статьи «Задачи по физике. Методы решения», опубликованной в № 1 за 2003 год журнала «Фiзiка: праблемы выкладання» [3]. На странице 95 находим рисунок, иллюстрирующий решение задачи 1.17. Какую же информацию может извлечь читатель из этого рисунка?

Во-первых, авторы дают нам понять, что на одной высоте камень обладает одной и той же скоростью, что не соответствует действительности, поскольку при движении данного вида на одной и той же высоте одинаковы только модули скоростей.

Во-вторых, на приведенном рисунке вектор  заметно короче вектора , из чего можно заключить, что скорость камня в момент падения на землю меньше его начальной скорости, что также не соответствует действительности.

На странице 97 той же статьи можно увидеть не менее интересный рисунок, приведенный к решению задачи 1.19. Равнодействующая сил, приложенных согласно условию задачи к камню, скользящему по наклонной плоскости, судя по рисунку, направлена практически вертикально вверх. Далее, по изменению длины соответствующих векторов можно прийти к выводу, что камень, попав на горизонтальный участок, вдруг становится приблизительно втрое тяжелее, причем сила нормальной реакции опоры по модулю на треть превосходит силу тяжести. Несколько отвлекаясь от освещаемой проблемы, замечу, что и авторское решение задачи 1.19 является ошибочным, поскольку не учитывает потери кинетической энергии камня при переходе его от движения по наклонной плоскости к движению по горизонтальному участку. Подробнее об этом можно узнать из моей работы «Классическая» ошибка» [4].

В заключение хотелось бы сказать, что вышеизложенный материал не является призывом к читателю излишне тщательно, до миллиметра выверять длину изображаемых векторов. В то же время рисунок должен четко иллюстрировать качественную сторону физического процесса.

Надеюсь, мои замечания будут в дальнейшем учтены авторами учебных пособий.

1. Исаченкова Л.А., Жолнеревич И.И., Медведь И.Н. Физика-9. – Мн.: Народная асвета, 2000.

2. 1С: Репетитор. Физика (мультимедийный учебник). АОЗТ «1С». – Москва, 1997 – 2001.

3. Редькин В.П., Николаенко Т.В., Дуб Н.Н. Задачи по физике. Методы решения // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2003. – № 1.

4. Акуленко В.Л. «Классическая» ошибка // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2002. – № 3.