Петрович Г.И. Цепи постоянного тока-08-2

Рассмотрим различные соединения электрических сопротивлений (резисторы, электронагревательные элементы, электролампы, электромоторы и т.д.).

 

Места объединения соединительных (подводящих) металлических проводников от различных электрических сопротивлений называют узлами соединения.

Наиболее простыми соединениями электрических сопротивлений являются последовательное и параллельное. В дальнейшем различные соединения электрических сопротивлений будем рассматривать на примере резисторов.

П. 1. При последовательном соединении резисторов в каждом узле объединяются соединительные проводники только от двух разных резисторов (рис. 1).

В электрических Схемах прямоугольники используются просто как символы резисторов, поэтому размеры прямоугольников не имеют принципиального значения. Все резисторы в электрических схемах будем обозначать прямоугольниками приблизительно одинаковых размеров, а обозначения и значения сопротивлений резисторов будем ставить внутри прямоугольников или около них.

Основные (независимые) законы для участка электрической цепи постоянного тока, состоящего из последовательно соединенных резисторов (см. рис. 1), имеют вид:

или кратко:

Соотношения (1, a) следуют из определения постоянного (стационарного) электрического тока для неразветвленного участка электрической цепи.

При учете закона Ома для однородного участка электрической цепи из формул (1, a), (1, b) дополнительно получаем:

 Формула (1, d) непосредственно следует из формулы для электрического сопротивления однородных проводников (резисторов), находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой:

Преобразуем выражения для сопротивлений однородных проводников (ρ_i, l_i , S_i), введя понятие эталонного вещества (ρ_эт), за которое можно принять любое вещество по желанию, и эталонной площади поперечного сечения проводников (S_эт). Тогда

где

Заменим набор резисторов R_i (ρ_i, S_i, l_i) набором такого же числа резисторов с теми же по величине электрическими сопротивлениями, но изготовленными из одного и того же вещества (ρ_эт) с одинаковыми площадями поперечных сечений (S_эт). Последовательное соединение проводников при такой замене означает объединение частей (кусков) одного и того же однородного проводника в единый однородный проводник, поэтому

После домножения обеих частей этого равенства на (ρ_эт/S_эт) получаем:

или кратко

При учете (3, b) R_iэт.=R_i и поэтому

 что обобщает (1, d) на случай любого числа последовательно соединенных резисторов.

Если в каком-то узле электрической схемы объединены соединительные проводники более чем от двух резисторов, то никакая пара этих резисторов не соединена между собой последовательно.

 

П. 2. При параллельном соединении резисторов соединительные проводники от одних концов резисторов объединяются в одном узле, а соединительные проводники от противоположных концов этих резисторов — в другом общем для них узле (рис. 2).

Основные (независимые) законы для участка электрической цепи, состоящего из параллельно соединенных резисторов, имеют следующий вид:

Формула (5, а) является следствием определения электрического напряжения на участке цепи и определения параллельного соединения проводников. Формула (5, b) непосредственно следует из определения постоянного (стационарного) электрического тока для разветвленного участка цепи. Часто закон (5, b) называют 1-ым законом (правилом) Кирхгофа для разветвленной электрической цепи.

Из формул (5, а), (5, b) при учете закона Ома для однородного участка электрической цепи дополнительно получаем:

Перепишем формулу (5, d) для случая двух параллельно соединенных резисторов следующим образом:

В случае трех параллельно соединенных резисторов

Итак, общее сопротивление параллельного соединения резисторов меньше сопротивления любого из резисторов, входящего в параллельное соединение.

Обобщим формулу (5, d) на любое число N параллельно соединенных между собой резисторов и выделим из нее частный случай, когда электрические сопротивления всех резисторов одинаковы; тогда

Таким образом, общее сопротивление параллельного соединения одинаковых резисторов меньше сопротивления одного резистора из этого соединения во столько раз, сколько одинаковых резисторов содержится в параллельном соединении.

Формулы (5, е) и (5, d) можно получить, не используя закон Ома для однородного участка электрической цепи постоянного тока, а исходя только из формулы (2) для сопротивления однородных проводников.

Параллельное соединение N одинаковых проводников эквивалентно одному проводнику той же длины с площадью поперечного сечения S₀=N*S, поэтому

что совпадает с (5, е).

Доказательство обобщенной формулы (5, d) для любого числа N параллельно соединенных различных резисторов выполним в два этапа. Сначала заменим резисторы из разных веществ (р_i) и в общем случае с различными l_i и S_i на эквивалентные по величине электрического сопротивления резисторы одинаковой длины (l_эт), изготовленные из одного и того же вещества (ρ_эт)- Очевидно, что

где

Параллельное соединение проводников одинаковой длины (i_3T), изготовленных из одного и того же вещества (р_эт)> дает однородный проводник той же длины (i_3T) из того же вещества (р_эт) с площадью поперечного сечения

Из (6, а, b, с) получаем:

что подтверждает все вышеприведенные формулы и качественные выводы для параллельного соединения резисторов.

 

П. 3. Сопротивления любых соединительных проводников в электрических схемах, если это не оговорено специально, считаются ничтожно малыми по сравнению с сопротивлениями резисторов и в расчетах не учитываются; поэтому их можно не только укорачивать, но при необходимости и удлинять при преобразованиях схем соединений резисторов.

В электрических схемах соединительные проводники условно изображают тонкими проводниками (линиями). На самом же деле в соответствии с формулой (2) площадь поперечного сечения соединительных проводников должна быть достаточно большой, что достигается параллельным соединением тонких проводников с диэлектрическим покрытием (многожильные проводники), изготовленных из недорогих веществ с минимальными удельными сопротивлениями (алюминий, медь [1]).

Резисторы, наоборот, изготавливают из веществ с максимально большими удельными сопротивлениями (фехраль, нихром, реотан, константан, мангалин, никелин, сталь, железо [1]) в виде тонких спиралей, заключенных в диэлектрические твердые оболочки.

 

П. 4. Параллельное соединение трех резисторов (см. рис. 2) можно осуществить и по-другому, как показано на рисунке 3.

Проиллюстрируем эквивалентность электрических схем, изображенных на рисунках 2, 3.

В схеме, изображенной на рисунке 3, оставим участок ВС с резистором R₂ без изменения и начнем укорачивать соединительные проводники А'С и D'B от узлов А' и D'. В пределе при А'С → 0 ← D'B схема, изображенная на рисунке 3, переходит в схему, изображенную на рисунке 2.

Общий метод эквивалентного преобразования сложных электрических схем, основанный на понятии потенциала постоянных электрический полей, будет рассмотрен в отдельной статье.

В развитие темы преобразования электрических схем предлагаю читателям подумать над следующими заданиями.

 

Задание 1. Изобразите более наглядно приведенные соединения четырех резисторов:

 

Задание 2. Расшифруйте приведенное соединение пяти резисторов.

П. 5. Рассмотрим схему соединения резисторов, приведенную ниже на рисунке 4, о. Анализ любой электрической схемы начинают с разметки узлов соединения резисторов и при необходимости их обозначения. Сразу же отметим, что никакая пара резисторов R₁, R₂, R₆ (R₄, R₅, R₆) не соединена между собой ни последовательно, ни параллельно; так как в узле В (Е) объединены соединительные проводники от одних концов трех резисторов R₁, R₂, R₆ (R₄, R₅, R₆ ), а соединительные проводники от противоположных концов этих резисторов не объединены в один общий для них узел. Техническое название соединения трех резисторов R₁, R₂, R₆ (R₄, R₅, R₆ ) будет дано ниже.

План эквивалентного преобразования соединения резисторов, изображенного на рисунке 4, Ъ, очевиден и, в большой степени, благодаря проведенной разметке узлов соединения резисторов.

На первой стадии обучения целесообразно проводить преобразования соединений резисторов поэтапно, рассматривая последовательность все более простых электрических схем после каждой замены нескольких резисторов одним эквивалентным резистором.

В рассматриваемом случае легко сразу наглядно показать виды соединений всех резисторов в схеме на рисунке 4, b. Для этого надо участок АВ повернуть по ходу часовой стрелки, а участок FE — против хода часовой стрелки на 90°. Полученное таким образом соединение резисторов эквивалентно соединению, указанному на рисунке 4, с.

Вычисление общего сопротивления по схеме 4, с элементарно и дает следующие результаты:

 

Задание 3. Сопоставьте с электрической схемой, изображенной на рисунке 4, а, антисхему (схему-антипод), заменяя в исходной схеме последовательные соединения резисторов на параллельные и, наоборот, параллельные — на последовательные.

 

П. 6. К числу наипростейших соединений резисторов, кроме последовательного и параллельного, относятся соединения резисторов по схемам "треугольник" (рис. 5, а) и "звезда" (рис. 5, b).

Кстати, в соединениях 4 b, с резисторы R₁, R₂, R₆ (R₄, R₅, R₆ ) соединены между собой по схеме "звезда".

Сформулируем условия эквивалентности (по величине электрического сопротивления) соединений резисторов по схемам "треугольник" и "звезда", приняв за основу статьи [3].

В общем случае (рис. 6) условия эквивалентности состоят из трех уравнений: 

Рассмотрим частный случай, когда сопротивления всех резисторов в "треугольнике" одинаковы и равны R. Как следствие этого, сопротивления всех резисторов в эквивалентной "звезде" также будут одинаковыми и равными r. В этом частном случае все три условия (7) совпадают между собой.

При подключении источника постоянного элекрического напряжения между любыми двумя клеммами (полюсами) "треугольника" по всем его резисторам протекает постоянный электрический ток и все его резисторы дают отличный от нуля вклад в общее сопротивление участка цепи. При подключении источника постоянного электрического напряжения к любым двум клеммам (полюсам) "звезды" постоянный электрический ток в ней протекает только по двум резисторам, третий всегда лишний — тупиковый; но каждый раз разный.

Из условия R_OAB=r_OAB рассматриваемом частном случае получаем: (2/3)R=2r.

Итак,

Простейшее соединение резисторов, не содержащее последовательно и параллельно соединенных резисторов, называют "мостиком" (рис. 7).

Замена любого "треугольника" в "мостике" на эквивалентную "звезду" или наоборот позволяет довести вычисление общего сопротивления "мостика" до конца по законам последовательного и параллельного соединений резисторов.

Расчетная целесообразность замен "треугольников" на "звезды" и наоборот ограничивается, кроме случая R₁=R₂=R₃=R(r₁=r₂=r₃=r), случаем, когда среди трех резисторов "треугольника" или "звезды" имеются два одинаковых резистора. В общем случае, когда сопротивления всех резисторов в "треугольнике" и "звезде" различны, решение задачи об эквивалентности этих соединений резисторов является очень сложным. Поэтому надо изучать и другие методы эквивалентного преобразования сложных соединений резисторов.

Если среди сопротивлений "мостика" (см. рис. 7) имеются пропорциональные сопротивления (a) R₁/R₃-R₂/R₄, b) R₁/R₂=R₃/R₄), то появляются оси симметрии распределения сопротивлений в "мостике", и при подключении "мостика" к источнику постоянного электрического напряжения ток по резистору R₅ не протекает. Поэтому резистор R₅ можно удалить из схемы, не изменяя ее общего электрического сопротивления, а узлы, между которыми он был включен в "мостике", при желании можно объединить в один узел.

 

Задание 4. Вычислите общее сопротивление соединения одинаковых резисторов (R) по схеме пятиконечной звезды (рис. 8) между полюсами: а) А и В; b) В и В'; с) А и С; d) А и D; е) D и D'; f) А и Е; g) А и F.

 

П. 7. Рассмотрим роль измерительных приборов в макроскопической физике, где нет принципиального различия между объектами и приборами. И те, и другие состоят из огромного количества молекул, исчисляемого молями вещества, т. е. N=v*NA=(m/M)*N_A где N_A=6,02*10²³ моль^-1 — постоянная Авогадро.

Не рассматривая устройство и принципы работы измерительных приборов, отметим, что все они имеют шкалу с определенной ценой деления и соответствующим интервалом значений измеряемой величины.

В электрических цепях величину тока и напряжения измеряют соответственно амперметрами и вольтметрами. Электрические измерительные приборы дополнительно характеризуются их внутренними электрическими сопротивлениями. Как любое электрическое сопротивление, амперметры и вольтметры, независимо от их специфики, можно подключать к другим сопротивлениям (резисторы, электронагревательные элементы, электролампочки, электромоторы и т.д.) как последовательно, так и параллельно. Амперметр показывает величину тока, протекающего через него, и все сопротивления, последовательно соединенные с ним; а вольтметр — электрическое напряжение на внутреннем сопротивлении вольтметра и всех сопротивлениях, параллельно соединенных с ним.

Подключение измерительных приборов в электрическую цепь изменяет сопротивления участков цепи и всей цепи в целом, что приводит к изменению распределений токов и напряжений в электрической цепи. Изменение состояния системы в результате проведения измерений и зависимость результатов измерений от измерительных приборов обычно обсуждается на уровне микросистем (отдельных микрообъектов) в квантовой механике в вузовских курсах физики. Однако эта зависимость существует и на макроуровне, но ее либо не замечают, либо не обращают на нее должного внимания.

Во избежание рассмотрения выше описанной сложной проблемы на начальной стадии изучения электрических цепей договариваются использовать идеальные измерительные приборы. Идеальный амперметр — это амперметр, внутреннее сопротивление которого много меньше всех сопротивлений, содержащихся в электрической цепи. В расчетах внутреннее сопротивление идеального амперметра не учитывается (г_А=0). Поэтому идеальные амперметры нельзя включать параллельно с другими сопротивлениями, так как электрический ток, подходящий к параллельному соединению, содержащему идеальный амперметр, полностью пойдет через идеальный амперметр, выключив из электрической цепи сопротивление(я), к которому^™) он подключен параллельно. Идеальные амперметры включаются только последовательно с сопротивлениями и не искажают распределений токов и напряжений в электрических цепях.

Идеальный вольтметр — это вольтметр, внутреннее сопротивление которого много больше всех сопротивлений, содержащихся в электрической цепи. В расчетах внутреннее сопротивление идеального вольтметра полагается равным бесконечности. Поэтому идеальные вольтметры нельзя включать последовательно с сопротивлениями, ибо тогда по этим участкам цепи не будет протекать электрический ток. Идеальные вольтметры подключаются к сопротивлениям только параллельно и не искажают распределения токов и напряжений в электрических цепях.

Если в условии задачи приведена электрическая схема с идеальными амперметрами и вольтметрами и заданы показания этих приборов, то надо идеальные приборы удалить из схемы, образно говоря, как паутину, а показания приборов "перенести" на другие сопротивления электрической цепи с учетом их соединения с измерительными приборами.

Использование понятий об идеальных амперметрах и вольтметрах полезно до поры до времени, но когда-то надо обязательно перейти к реальным измерительным приборам и учитывать в расчетах конечные значения их внутренних сопротивлений со всеми вытекающими отсюда усложнениями [3]. При использовании реальных измерительных приборов возникают вопросы о точности измерений величин токов и напряжений на участках электрической цепи, а также проблема увеличения цены деления шкалы приборов.

При уменьшении внутреннего сопротивления амперметра, подключаемого последовательно к сопротивлениям электрической цепи, его показания возрастают и стремятся к истинному значению величины электрического тока, протекающего через заданные сопротивления электрической цепи до подключения амперметра в электрическую цепь.

При увеличении внутреннего сопротивления вольтметра, подключенного параллельно к сопротивлениям электрической цепи, его показания возрастают и стремятся к истинному значению электрического напряжения на данных сопротивлениях до подключения вольтметра в электрическую цепь.

Для расширения интервала значений измеряемых токов и соответствующего увеличения цены деления шкалы амперметра к нему параллельно подключают проводник (шунт), сопротивление которого меньше внутреннего сопротивления амперметра. Для увеличения цены деления шкалы амперметра в п раз к нему надо параллельно подсоединить шунт с сопротивлением r_ш=r_а/(п-1).

Для увеличения цены деления шкалы вольтметра в п раз к нему надо последовательно подсоединить проводник (дополнительное сопротивление) с R_доп=(n-1)R_B.

Рекомендую решить задачи № 527, 534, 553 — 557 из [2] на использование реальных измерительных приборов в цепях постоянного электрического тока.

Ответы к заданиям, приведенным в статье

Задание 1

Все соединения резисторов в этом задании содержат соединение, изображенное на рисунке 3. Ввиду эквивалентности соединений, изображенных на рисунках 2, 3, имеем:

Задание 2

Выделим в заданном соединении резисторов соединение, изображенное на рисунке 3.

При учете эквивалентности соединений, изображенных на рисунках 2, 3, получаем:

Заменяя параллельное соединение резисторов R₁, R₂, R₃, одним резистором R_I получаем новое соединение резисторов R₅, R₄, R_I типа 2—3.

Задание 3

Задание 4

Заменяя поэтапно последовательные (параллельные) соединения резисторов одним эквивалентным резистором, уменьшаем число резисторов в электрической схеме и сводим рассматриваемую схему либо сразу к одному резистору, либо к соединению, содержащему только "треугольники" и "звезды".

Во втором случае соединение резисторов по схеме "треугольник" заменяем эквивалентным соединением резисторов по схеме "звезда" и доводим преобразование соединения резисторов до одного эквивалентного резистора.

При реализации вышеизложенной программы получаем: a) R_AB=(19/30)*R; b) R_BB'^,=(8/15)*R; с) R_AC=(6/5)*R; d) R_AD=(31/30)*R; e) R_DD'=(4/5)*R; f) R_AE=(22/15)*R; g) R_AF=(7/6)*R.

Альтернативный метод вычисления сопротивлений электрических схем на основе учета симметрии схем и распределения потенциала постоянного электрического поля в них будет рассмотрен в отдельной статье.

Литература

1. Кошкин, Н. И. Справочник по элементарной физике / Н. И. Кошкин, М. Г. Ширкевич. — М. : Наука, 1965.

2. Балаш, Б. А. Задачи по физике и методы их решения / Б. А. Балаш. — М. : Просвещение, 1967.

3. Петрович, Г. И. Цепи постоянного электрического тока / Г. И. Петрович, Э. М. Шпилевский // Репетитор. — 1996. — № 5(8). — С. 43—48; 1997. — № 6(9). — С. 42—47; 1997. — № 1(10). — С. 41—47.