Баканина Л.П. О силах трения // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Многие школьники, поступающие в вузы, часто испытывают затруднения при решении задач, в которых действуют силы трения.

Вспомним об основных особенностях сил так называемого сухого трения — трения между двумя твердыми телами. Эти силы возникают всегда при непосредственном соприкосновении тел, направлены вдоль поверхности соприкосновения и действуют на каждое из соприкасающихся тел, причем действуют так, чтобы препятствовать движению одного тела относительно другого — если это силы трения скольжения, или так, чтобы препятствовать самому возникновению этого движения — если речь идет о силах трения покоя.

Абсолютная величина силы трения скольжения F_тp зависит от вида трущихся поверхностей и силы N нормального давления одного тела на другое:

F_тр = μ∙N,

где μ— коэффициент трения.

Сила трения покоя F_{тp п} всегда уравновешивает все остальные силы, действующие на тело вдоль поверхности соприкосновения. Ее абсолютная величина может принимать любые значения от нуля до некоторого максимального значения F_{тp п max}, которое обычно считают равным F_тpск:

0 ≤ F_{тp п} ≤ F_{тp ск}.

При решении задач прежде всего необходимо разобраться, с какими именно силами трения — покоя или скольжения — мы имеем дело. Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Ни горизонтальном столе лежат два бруска массой Μ₁ =7 кг и М₂ = 10 кг, связанные нитью. Еще одна нить, привязанная к бруску массой Μ₁, переброшена через блок, укрепленный на краю стола, и к ней подвешен груз массой m = 1 кг (рис. 1). Коэффициент трения между брусками и столом μ  = 0,1. Определите натяжения обеих нитей и силы трения, действующие на каждый из брусков.

Во-первых, выясним, будут двигаться бруски или нет. Они могут начать двигаться под действием силы натяжения Т₁ правой нити, а она, по абсолютной величине, не может превысить силу тяжести груза массой m:

T₁ ≤ m∙g = 10 Н.

Максимальное значение силы трения покоя для обоих брусков

F_{тp п max} = μ∙(M₁ + M₂)∙g = 17 Н.

Так как Т₁ < F_{тp п max}, бруски покоятся. Очевидно, что покоится и груз массой m; следовательно,

T₁ = m∙g = 10 Н.

Теперь рассмотрим но отдельности бруски массой M₁ и М₂. На правый брусок действуют силы натяжения нитей T₁ и T₂ и сила трения F_тp1 (рис. 2) (нас интересуют только те силы, которые лают горизонтальные проекции, отличные от нуля).

Рис. 2.

Максимальное значение силы трения

F_{тp1 max} = μ∙M₁∙g = 7 Н < Т₁ = 10 Н,

значит, одна только сила трения не может уравновесить брусок. Как только она достигнет своего наибольшего значения, натянется вторая нить — появится сила натяжения Т₂.

Первый брусок будет покоиться, если

T₁ = F_тр1 + Т₂,

где

F_тр1 = F_{тр1 max} = 7 Н.

Отсюда

Т₂ = T₁ – F_{тр1 max} = 3 Н.

На второй брусок действуют две силы: сила натяжения нити Т₂ и сила трения F_тр2 (рис. 3). Поскольку

F_{тp2 max} = μ∙M₂∙g = 10 Н > Т₂ = 3 Н,

сила трения F_тp2 может уравновесить силу Т₂:

F_тp2 = Т₂ = 3 Н.

Рис. 3.

Задача 2. Брусок лежит на доске. Доску приподнимают за один край. Как зависит абсолютная величина силы трения, действующей на брусок, от угла наклона доски α (рис. 4)? Коэффициент трения между бруском и доской μ, масса бруска m.

Рис. 4.

При достаточно малых углах наклона брусок покоится на доске. При этом сила трения покоя F_{тр п} уравновешивает силу F — составляющую силы тяжести бруска, направленную вдоль наклонной плоскости:

F_{тр п} = F = m∙g∙sin α.

С увеличением угла α сила трения покоя растет, и при некотором угле α₀ она достигает своего максимального значения:

F_{тp п max} = F_тpск = μ∙N или m∙g∙sin α₀ = μ∙m∙g∙cos α₀.

Отсюда

tg α₀ = μ и .

При дальнейшем увеличении угла α тело скользит по доске, и сила трения является силой трения скольжения:

F_тpск = μ∙N = μ∙m∙g∙cos α.

График зависимости абсолютной величины силы трения от утла наклона доски α показан на рисунке 5: до угла α₀ сила трения возрастает по закону синуса, а дальше она убывает по закону косинуса.

Задача 3. Прямоугольный брусок, размеры которого показаны на рисунке 6, тянут равномерно по горизонтальной плоскости за веревку, угол наклона которой α можно менять. Коэффициент трения бруска о плоскость равен μ. При какой величине угла α₀ брусок начнет приподниматься?

Рис. 6.

Рассмотрим все силы, которые действуют на брусок. Это сила натяжения веревки Т, сила тяжести m∙g, сила реакции опоры N (равная по абсолютной величине силе нормального давления) и сила трения скольжения F_{тр ск} (так как брусок движется). При угле наклона α₀, когда брусок начнет приподниматься, силы N и F_{тр ск} проходят через точку А (рис. 7).

Рис. 7.

Так как брусок движется равномерно и прямолинейно, сумма действующих на него сил и сумма моментов этих сил относительно любой оси должны быть равны нулю. Следовательно, равны нулю сумма проекций всех сил на ось X:

F_{тр ск} – T∙cos α₀ = 0

и сумма моментов сил относительно центра тяжести С:

Из этих двух уравнении с учетом того, что F_{тр ск} = μ∙N, получаем

Задача 4. Ребенок скатывается с горки на санках. Высота горки Η = 15 м, угол наклона к горизонту α = 30º, а коэффициент трения линейно нарастает вдоль пути от μ₁ = 0 у вершины горы до μ₂ = 0,4 у подножия. Какую скорость будут иметь санки у подножия горы?

Так как абсолютная величина силы трения скольжения при движении санок изменяется, а значит, движение санок не будет равноускоренным, задачу проще и удобнее решать с помощью закона сохранения энергии:

Здесь m·g·H — потенциальная энергия санок на вершине горы,  — их кинетическая энергия у подножия и A — работа против силы трения скольжения F_{тp ск.}.

Для определения A нарисуем график зависимости F_{тp ск.} от пути s (рис. 8). У вершины горы

F_{тp ск.1} = μ₁·m·g·cos α = 0,

у подножия

F_{тp ск.2} = μ₂·m·g·cosα,

весь путь

Работа А численно равна площади заштрихованного треугольника на рисунке 8:

Рис. 8.

Тогда из закона сохранения энергии получаем:

Упражнения

1. Брусок массой m, размеры которого показаны на рисунке 9, стоит на наклонной плоскости с углом наклона α. На брусок начинает действовать сила F, параллельная наклонной плоскости. При каком абсолютном значении этой силы брусок опрокинется? Известно, что соскальзывать с наклонной плоскости брусок при этом не будет.

Рис. 9.

2. Какую работу нужно затратить, чтобы втащить сани с грузом (общей массой m = 30 кг) на горку высотой H = 10 м? Угол наклона горки к горизонту α  = 30°, а коэффициент трения между санями и горкой линейно убывает вдоль пути от μ₁ = 0,5 у подножия до μ₂ = 0,1 у вершины.

3. Мешок с мукой сползает без начальной скорости с высоты Н = 2 м по доске, наклоненной под углом α₂ = 45° к горизонту. После спуска мешок попадает на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения мешка о доску и горизонтальную поверхность μ = 0,5. На каком расстоянии от конца доски мешок остановится?

Ответы

1.

2.

3.