Овчинников А., Плис В. Теорема об изменении кинетической энергии в задачах механики // Квант

Целый ряд задач механики можно решить, опираясь на важное следствие второго закона Ньютона — теорему об изменении кинетической энергии.

Эта теорема утверждает, что изменение (приращение) кинетической энергии материальной точки равно работе всех сил, приложенных к этой точке:

Здесь m — масса материальной точки, υ и υ₀ — величины ее конечной и начальной скоростей, A — работа всех сил.

 

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Чтобы затащить на горку санки массой m = 5 кг, прикладывая постоянную силу вдоль наклонной плоской поверхности горки, необходимо совершить работу не менее A = 480 Дж. С какой скоростью достигнет основания горки девочка на этих санках, если она съедет с горки с нулевой начальной скоростью по кратчайшему пути? Угол наклона плоскости горки к горизонту α = arctg 0,2. Коэффициент трения скольжения между санками и горкой μ = 0,1.

На санки, движущиеся по горке вверх, действуют четыре силы: сила тяжести , сила нормальной реакции , сила трения , и сила тяги . В соответствии со вторым законом Ньютона, записанным в проекциях на перпендикуляр к наклонной плоскости горки, находим N₁ = m·g·cos α. Тогда для величины силы трения скольжения имеем

По теореме об изменении кинетической энергии для санок, очень медленно движущихся вверх, получим

0 – 0 = A + A_тяж1 + A_тр1.

В левой части равенства стоит разность кинетических энергий санок в конце и в начале движения, а в правой части записаны следующие величины: A — работа силы тяги,

— работа силы тяжести (здесь l — длина горки, H — ее высота),

— работа силы трения (здесь s — длина основания горки). Работа силы реакции, перпендикулярной перемещению, равна нулю. Таким образом, описание подъема санок приводит к равенству

На спускающиеся с горки санки с девочкой действуют три силы: сила тяжести  (M — сумма масс девочки и санок), сила нормальной реакции величиной M·g·cos α и сила трения, равная μ·M·g·cos α. По теореме об изменении кинетической энергии теперь имеем

где в левой части равенства стоит разность кинетических энергий девочки с санками у основания горки и на старте (в верхней части горки), в правой части — сумма работ всех сил:

а работа силы реакции, как и на этапе подъема равна нулю. После простых преобразований находим

Наконец, деление этой формулы на полученную ранее аналогичную формулу приводит окончательно к ответу на вопрос задачи:

 

Задача 2. В водоеме укреплена вертикальная труба с гладкой внутренней поверхностью, вдоль которой герметично может скользить легкий поршень. Нижний конец трубы погружен в воду (рис. 1). Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м. Найдите работу, которую необходимо при этом совершить. Площадь поршня S = 1 дм², атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па, плотность воды ρ = 10³ кг/м³, ускорение свободного падения g = 10 м/с². Давлением насыщенных паров воды пренебречь.

Рис. 1

Если поднять поршень на небольшую высоту h, приложив к нему направленную вертикально вверх силу величиной F, давление поршня на воду уменьшится. Таким образом, на одной и той же горизонтальной плоскости давление в воде под поршнем будет меньше, чем под открытой поверхностью в водоеме. Под действием этой разности давлений вода втягивается в трубу и поднимается на высоту h, в результате чего давление у основания водяного столба, равное сумме давления поршня на воду  и гидростатического давления ρ·g·h, станет равным атмосферному p₀:

Отсюда находим

F = ρ·g·h·S.

Заметим, что при высоте подъема воды  = 10 м давление поршня на воду станет равным нулю, гидростатическое давление станет равным атмосферному давлению и поршень оторвется от воды. Между водой и нижней поверхностью поршня возникнет увеличивающееся пустое пространство (считается, что водяного пара или другого газа в этом пространстве нет). Минимальная сила, которую следует прикладывать к поршню при дальнейшем его подъеме, постоянна и равна p₀·S.

Зависимость величины F от h представлена в виде графика на рисунке 2.

Рис. 2

Площадь под графиком и равна искомой работе:

 

Задача 3. Лыжник съезжает с нулевой начальной скоростью, не отталкиваясь палками, со склона холма по прямой, составляющей некоторый угол с горизонтальной плоскостью, и, проехав по склону расстояние s₀ = 60 м, останавливается, увязнув в снегу. Условия движения таковы, что сила сопротивления, действующая на лыжника со стороны снега, пропорциональна пройденному пути; коэффициент пропорциональности k = 6,4 Н/м. Найдите величину максимальной скорости лыжника при спуске, если его масса с инвентарем m = 90 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

На съезжающего по склону холма лыжника действуют три силы: сила тяжести , сила реакции, перпендикулярная траектории, и сила сопротивления, равная F_c = k·s, где s — длина пройденного пути, и направленная по касательной к траектории лыжника противоположно вектору его скорости.

По теореме об изменении кинетической энергии, для отрезка пути s ≤ s₀ имеем

Здесь υ — величина скорости лыжника в момент, когда он прошел путь s. Работа постоянной силы тяжести находится по формуле

где α — угол наклона прямолинейной траектории лыжника к горизонту. Работа силы сопротивления, во-первых, отрицательна (так как сила и перемещение противонаправлены), а во-вторых, — это работа переменной силы. График зависимости F_c от s представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Как и в задаче 1, площадь под графиком имеет смысл величины соответствующей работы:

Возвращаясь к теореме об изменении кинетической энергии, получаем

Искомая в задаче максимальная скорость соответствует максимальному значению правой части этого равенства. Поскольку правая часть равенства — квадратичная функция пути, ее максимальное значение находится при значении s, равном полусумме путей s₁ и s₂, обращающих ее в ноль. Ясно, что s₁ = 0 и . Таким образом, при  кинетическая энергия лыжника максимальна:

Отсюда находим искомую скорость:

При расчете работы силы сопротивления принят во внимание линейный рост силы сопротивления с увеличением смещения s. Более того, суммарная сила (m·g·sin α – k·s) имеет характер квазиупругой возвращающей силы с положением равновесия при s = s₀/2. Следовательно, от старта до остановки лыжник движется по гармоническому закону, достигая максимальной скорости в положении s = s₀/2, причем s₀/2 — максимальное смещение от положения равновесия (амплитуда колебаний). Из кинематики гармонических колебаний известна связь амплитуд скорости и смещения:

где  — циклическая частота колебаний. Таким образом, результат для υ_max можно получить и в терминах амплитуд колеблющихся величин.

***

Особый интерес представляет теорема об изменении кинетической энергии для системы нескольких взаимодействующих тел, движущихся относительно друг друга. Рассмотрим случай двух взаимодействующих тел.

Пусть  — сила, действующая на тело 1 массой m₁ со стороны тела 2 массой m₂, a  — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1. В соответствии с третьим законом Ньютона,

Пусть также  — сумма всех сил, действующих на тело 1 со стороны всех тел, кроме тела 2, т.е. это есть сумма всех внешних сил, приложенных к телу 1. Аналогичный смысл имеет сила  в отношении тела 2. Для каждого из двух тел запишем теорему об элементарном приращении его кинетической энергии:

Складывая почленно эти равенства, с учетом третьего закона Ньютона, находим

В левой части этого равенства записано элементарное приращение кинетической энергии системы двух тел. Первое слагаемое в правой части — это вычисленная в системе отсчета, связанной с телом 2, элементарная работа силы, действующей на тело 1 со стороны тела 2. Второе и третье слагаемые — это элементарные работы внешних сил.

 

Теперь — задача.

Задача 4. На гладкой горизонтальной плоскости покоится доска массой m₁. На доску со скоростью  въезжает шайба массой m₂ (рис. 3). Какой должна быть минимальная длина доски l, чтобы шайба не соскользнула с нее? Коэффициент трения скольжения между шайбой и доской μ, размер шайбы мал по сравнению с длиной доски.

Рис. 3

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы тел m₁ и m₂:

Величину u конечной скорости шайбы и доски можно найти из закона сохранения импульса

Решая эти два уравнения, находим окончательно

Конечно, можно было бы решить задачу, опираясь на теорему об изменении кинетической энергии для каждого тела. В таком случае соответствующая система уравнений имеет вид

где s₁ и s₂ — величины перемещений тел 1 и 2 соответственно относительно неподвижной системы отсчета. Решая эту систему уравнений, приходим к тому же ответу на вопрос задачи, что и в первом варианте ее решения.

***

В заключение рассмотрим задачу, в которой теорема об изменении кинетической энергии используется наоборот: по известному приращению кинетической энергии находится работа.

Задача 5. Найдите коэффициент полезного действия водометного двигателя реактивного катера, движущегося с постоянной скоростью. Площадь входного отверстия двигателя S₁, выходного S₂.

Выберем систему отсчета, связанную с катером. Пусть через двигатель ежесекундно проходит масса μ воды, причем попадает она в двигатель со скоростью υ₁ (это скорость движения катера), а выходит со скоростью υ₂. Импульс этой массы воды за секунду увеличивается на , следовательно, сила тяги двигателя равна , a его полезная мощность — . Полная мощность двигателя равна приращению кинетической энергии воды, прошедшей через двигатель в единицу времени:

Коэффициент полезного действия η двигателя равен отношению полезной мощности к полной:

Из условия неразрывности струи воды и несжимаемости воды  следует, что

Заметим, что при решении задачи в системе отсчета, связанной с берегом, полезная мощность двигателя по-прежнему будет равна . Полная же мощность  будет расходоваться на преодоление силы сопротивления, которая по величине равна силе тяги, и на ежесекундное увеличение кинетической энергии воды, скорость которой при прохождении через двигатель увеличивается от 0 до υ₂ – υ₁, т.е.

Таким образом, величина коэффициента полезного действия водометного двигателя в обеих системах отсчета определяется одним и тем же соотношением.

 

Упражнения

1. Когда тело двигалось вниз по наклонной плоскости, на высоте H от ее основания оно имело скорость υ₁, а когда оно двигалось вверх после упругого удара о стенку у основания плоскости, его скорость на той же высоте H была равна υ₂ (рис. 4). Определите скорость тела при ударе о стенку.

Рис. 4

2. Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, попадает на шероховатый участок этой поверхности шириной l, коэффициент трения о который μ. При какой минимальной начальной скорости брусок преодолеет шероховатый участок поверхности?

3. Кабина лифта массой m = 3·10³ кг опускается с постоянной скоростью υ = 10 м/с. Внезапно происходит полная остановка барабана, с которого сматывается трос. Найдите максимальное удлинение троса, если коэффициент упругости для той его длины, при которой произошла остановка барабана, равен k = 10⁶ Н/м.

4. По гладкой горизонтальной плоскости стола равномерно со скоростью υ скользит доска массой m₁ вместе с расположенной на ней небольшой шайбой массой m₂ (рис. 5). После абсолютно упругого столкновения доски с вертикальной неподвижной стеной шайба перемещается по доске на l. Определите коэффициент трения скольжения между шайбой и доской.

Рис. 5

5. Оцените мощность двигателя, необходимую для поддержания в воздухе вертолета массой M = 500 кг с лопастями длиной l = 3 м. Считайте, что весь воздух под вращающимися лопастями движется однородным потоком вниз. Давление и температура воздуха равны, соответственно, p = 10⁵ Па и T = 300 К, молярная масса воздуха M = 29 г/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).

 

Ответы

1.

2.

3.

4.

5.