Овчинников О.Ю. Механическая работа и механическая энергия // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой  при перемещении тела на величину , равна произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы и перемещения:

A = F·s·cos α.

Такое понятие не всегда соответствует обыденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на поднятых руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело сила не постоянна (меняется ее модуль или направление), работу такой силы можно найти следующим образом. Разобьем все перемещение тела на такие малые участки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответственно . Затем найдем работу на каждом участке:

A₁ = F₁·s₁·cos α₁,

A₂ = F₂·s₂·cos α₂, …

A_n = F_n·s_n·cos α_n,

a полная работа будет равна сумме работ на отдельных участках:

A = A₁ + A₂ + ... + A_n.

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения F_s = F·cos α, работу можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке ВС численно равна площади фигуры BDEC.

Рис. 1

 

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной гладкой цепочки на гладкий горизонтальный стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а; ее длина l = 6 м; масса m = 3 кг.

              

а                         б                             в

Рис. 2

В начальный момент на цепочку действует сила тяжести m·g, и для ее удержания требуется сила

F = m·g.

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на столе, через x (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 2, в). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади заштрихованного треугольника:

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжести цепочки. Поскольку в начальный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа .

 

Задача 2. К точкам В и С, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе обоих стержней. Какой из центров тяжести — цепочки или системы стержней — находится ниже?

а

б

Рис. 3.

Подействуем на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжести цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить некоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжести выше прежнего.

Следовательно, первоначально центр тяжести цепочки находился ниже центра тяжести системы стержней.

 

Задача 3. В первом опыте пружину, имеющую жесткость k и длину в недеформированном состоянии l₀, растягивают до длины l. Во втором опыте эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берут одну из них и растягивают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опытах.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величину x возникает сила упругости F_yпр = –k·x (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растянуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу , равную по модулю силе упругости, но противоположную ей по направлению:

F = –F_yпр = k·x.

Построим график зависимости F = F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которую должна совершить внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величину x:

а

б

Рис. 4.

В случае, когда пружина уже была растянута на величину x₁, а теперь ее надо растянуть до x₂, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опыте для растяжения целой пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совершить работу

Во втором опыте до той же длины l растягивают лишь половину пружины так, что удлинение . Кроме того, жесткость половины пружины не такая, как жесткость целой пружины: она в два раза больше (покажите это самостоятельно). Поэтому во втором опыте необходимо совершить работу

 

§ 2. В механике принято различать кинетическую энергию, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тел системы или частей одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ, равна

Потенциальная энергия тела, находящегося в поле тяжести на высоте h над нулевым уровнем, равна

E_p= m·g·h,

а потенциальная энергия упруго деформированного тела равна

Между понятиями «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесная связь. Работа равнодействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

A= E_k2 – Е_k1.

Работа сил тяжести или упругости, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

А = –(Е_p2 – Е_p1).

 

Задача 4. На рогатке закреплена длинная (по сравнению с размерами рогатки) резина с жесткостью k. Найдите максимальную скорость камня массой m, выпущенного из рогатки, если предварительно его оттянули на расстояние x(рис. 5).

Рис. 5

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругости резины . При оттягивании камня на расстояние x суммарное удлинение пружины будет 2x, и модуль силы упругости F = k·(2x) = 2k·x.

При возвращении в исходное недеформированное состояние резины силы упругости, действующие на камень, совершат работу

За счет этой работы камень приобретет кинетическую энергию

Таким образом,

откуда

 

Задача 5. Какая работа будет совершена силой F = 30 H при подъеме тела массой m = 2 кг на высоту h = 20 м?

Согласно определению, работа приложенной к телу силы равна

A = F·h = 600 Дж.

С другой стороны, при подъеме тела на высоту h против силы тяжести m·g совершается работа

A' = m·g·h = 400 Дж.

Конечно же, ничего странного в расхождении полученных результатов нет. Дело в том, что А' — это минимальная работа, которую нужно совершить для поднятия тела. За счет этой работы увеличивается его потенциальная энергия в поле тяжести Земли:

ΔE_p= m·g·h = 400 Дж.

Остальная же часть работы идет на увеличение кинетической энергии тела (тело движется с ускорением, а почему?):

ΔE_k = A – A' = 200 Дж.

 

Задача 6. На невесомой конструкции из стержней, соединенных шарнирно, подвешен груз массой m (рис. 6). Чему равно натяжение нити?

Рис. 6

Мысленно уменьшим длину нити на величину x, настолько малую, чтобы изменением силы натяжения нити можно было пренебречь. Тогда груз поднимется на высоту 2x (покажите это).

Работа силы натяжения нити при этом будет равна

A = F_н·x,

а потенциальная энергия груза в поле тяжести Земли изменится на

ΔE_p = m·g·(2x) = 2m·g·x.

Таким образом,

F_н·x = 2m·g·x,

откуда

F_н = 2m·g.

 

§ 3. Энергия принадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только силами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергий) остается постоянной. Действие же силы, трения приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

 

Задача 7. Мальчик на коньках разгоняется до скорости υ и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он сможет подняться, если коэффициент трения μ, а угол наклона горки к горизонту α?

В начальный момент мальчик обладает кинетической энергией , а в конечный момент — потенциальной энергией m·g·h (здесь m — масса мальчика, h — искомая высота подъема). За счет уменьшения полной механической энергии совершается работа против силы трения :

Отсюда находим искомую высоту h:

 

Задача 8. Камень массой m соскальзывает с гладкой горки высотой Н. Рассмотрим этот процесс в двух различных инерциальных системах отсчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня m·g·H переходит в кинетическую энергию , так что после соскальзывания с горки камень имеет скорость υ (рис. 7). Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, движущейся со скоростью υ вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия m·g·H и кинетическая энергия , а в конце нет ни той, ни другой. Куда же «пропала» энергия?

(Аналогичные вопросы подробно разбираются в статье В.А. Орлова «Парадокс «большого» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ред.))

Рис. 7

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформулированного в условии парадокса в том, что рассуждения проводились для незамкнутой системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

а) В неподвижной системе отсчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальный момент камень и Земля покоятся, и вся энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень приобретает скорость , а Земля — скорость , которую можно найти из закона сохранения импульса:

откуда

где М — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

Поскольку масса камня ничтожно мала по сравнению с массой Земли, величиной m/М по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим

что целиком соответствует условию задачи.

б) В движущейся системе отсчета в начальный момент общая энергия системы равна

а в конечный она равна . Из закона сохранения импульса

получаем

и

Тогда из закона сохранения энергии имеем

или, пренебрегая величиной m/M по сравнению с двойкой,

— тот же самый результат, что и с точки зрения неподвижного наблюдателя!

 

Упражнения

1. Тело массой M = 990 г лежит на горизонтальной плоскости. В него попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 100 м/с, и застревает в нем. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между ним и плоскостью μ = 0,05?

2. В вагоне равномерно идущего поезда стоит человек, натягивающий пружину с силой  (рис. 8). Поезд прошел путь l. Какую работу при этом совершил человек в системе отсчета, связанной с поездом, и в системе отсчета, связанной с Землей?

Рис. 8

Ответы

1.

2. В обеих системах отсчета A = 0.