Кротов С.С. Задачи на столкновения тел // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Довольно часто на вступительных экзаменах абитуриентам предлагаются задачи, в которых рассматривается столкновение тел (иногда столкновение называют ударом, или соударением, или рассеиванием). Обычно речь идет о соударении двух тел; если же соударяющихся тел больше, их взаимодействие можно представить как совокупность попарных соударений.

Прежде чем решать любую задачу по физике, и в частности задачу на соударение, нужно понять, какие явления, рассматриваемые в задаче, играют главную роль, а какими явлениями можно пренебречь. В соответствии с этим нужно выбрать идеализированную картину и установить для нее применимость соответствующих физических законов.

Процесс столкновения тел можно разделить на три стадии: первая стадия — тела налетают друг на друга с постоянными скоростями и в какой-то момент соприкасаются друг с другом; вторая стадия (собственно соударение) — появляются силы взаимодействия между телами, которые действуют в течение некоторого промежутка времени; третья стадия — тела разлетаются с новыми неизменными во времени скоростями. Обычно формулировка задачи на соударение предполагает по заданным начальным скоростям тел определить их конечные скорости (или наоборот). При этом стадия собственно соударения фактически не рассматривается, а обсуждается лишь ее характер: удар упругий или неупругий, центральный или нецентральный и т. д.

В качестве примера рассмотрим упругий удар. Пусть небольшое тело произвольной формы налетает на другое тело. Придя в соприкосновение, тела начинают деформироваться. Возникающие упругие деформации передаются от одних частей тел к другим со скоростью распространения звука (то есть достаточно быстро), причем различные части тел получают различные скорости. Наконец, импульсы деформации достигают противоположных границ тел, отражаются от них, и тела отскакивают друг от друга подобно сжатым пружинам. Что же при этом происходит с первоначальным запасом механической энергии тел?

Из-за неодинаковости скоростей движения различных частей тел возникают колебания, они отбирают определенную энергию, которая при затухании колебаний превращается в тепло. Кроме того, всякое колеблющееся тело становится источником звуковых волн, которые тоже уносят часть энергии. Если удар нецентральный, то есть если относительная скорость соударяющихся тел не проходит по линии центров тел, тела начнут вращаться. Энергия, необходимая для этого, черпается тоже из кинетической энергии поступательного движения тел. Вращение могут вызвать также силы трения. Однако, если отношение потерь к первоначальному запасу механической энергии мало, всеми необратимыми превращениями механической энергии в другие виды энергии пренебрегают и удар считают абсолютно упругим. Идеализированная картина такого удара состоит в следующем: кинетическая энергия поступательного движения налетающих тел частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций; потенциальная энергия растет до тех пор, пока не сравняются скорости движения обоих тел, а затем она переходит в кинетическую энергию разлетающихся тел. Таким образом, при абсолютно упругом ударе общая механическая энергия тел сохраняется.

Заметим, что при неупругом ударе в телах возникают неупругие деформации, которые частично сохраняются и после соударения тел. При этом внутренняя энергия тел изменяется, а значит, их полная механическая энергия не сохраняется.

Теперь перейдем к рассмотрению конкретных задач. Решая их, мы не будем каждый раз детально обсуждать все происходящее. Надеемся, что читатель сумеет самостоятельно сделать подробный анализ и обосновать выбранную модель явления.

 

Задача 1. Два шара одинаковых радиусов движутся по гладкой, горизонтальной поверхности (рис. 1). Массы шаров m₁ и m₂, их скорости  и  направлены по линии центров шаров. Определите скорости шаров после их абсолютно упругого удара.

Рис. 1.

Поскольку удар абсолютно упругий и горизонтальная поверхность гладкая, импульс и кинетическая энергия системы сохраняются. До удара оба шара двигались по линии, соединяющей их центры; следовательно, удар центральный и после него шары тоже движутся вдоль линии центров. Направим ось координат по этой линии, спроектируем на нее все скорости и запишем законы сохранения импульса и кинетической энергии:

Здесь  и  проекции новых скоростей первого и второго шаров соответственно.

Для решения полученной системы в каждом уравнении в левой части, соберем слагаемые, содержащие m₁, а в правой — слагаемые, содержащие m₂:

Поделив почленно второе уравнение на первое, получим

Объединим это уравнение с первым уравнением предыдущей системы в новую систему:

Отсюда

Анализируя выражения для  и , можно сделать следующие выводы:

1) При столкновениях тел одинаковых масс (m₁ = m₂)

 и

— тела обмениваются скоростями.

2) При соударении легкого и тяжелого тел

 и

— тяжелое тело не изменяет своей скорости.

3) Если в исходной системе уравнений сделать замену  и , то новые скорости тел будут такими:  и . Физически это означает обратимость механического движения: если тела налетают друг на друга со скоростями, обратными тем, с которыми они двигались после удара в задаче 1, то разлетаться после удара тела будут, со скоростями, обратными тем, с которыми они двигались до удара в задаче 1.

4)  — при ударе модуль относительной скорости тел не изменяется, а направление этой скорости меняется на противоположное.

 

Задача 2. Небольшой шарик лежит на дне ящика, касаясь его правой стенки. В результате толчка извне ящик начинает двигаться вправо по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью . Через какое время τ шарик займет первоначальное относительно ящика положение, если его соударения с ящиком абсолютно упругие, дно ящика гладкое, а расстояние между его стенками равно L?

Шарик будет попадать в первоначальное относительно ящика положение перед каждым четным соударением с ящиком. Поскольку модуль скорости шарика относительно ящика при ударе не меняется и все время равен υ, время τ найдем по формуле

 

Задача 3. Гладкая вертикальная стенка движется в горизонтальном направлении со скоростью  (рис. 2). В стенку попадает шарик массой m, летящий со скоростью , которая составляет угол α с перпендикуляром к стенке. Считая удар абсолютно упругим, определите модуль υ' скорости шарика после удара и угол β, под которым шарик отлетит от стенки.

Рис. 2.

Введем систему координат XOY, как показано на рисунке 2. Обозначим через М массу стенки, через υ и и — модули скоростей шарика и стенки до соударения, через и' — модуль скорости стенки после соударения, а через υ'_x и υ'_y — соответствующие проекции скорости шарика после удара. Запишем законы сохранения импульса и кинетической энергии:

Из этой системы найдем

Очевидно, что масса шарика мала по сравнению с массой стенки, то есть . С учетом этого получим

(сравните последние два выражения с выводом 2 из задачи 1). Отсюда

и

 

Задача 4. Пробирка массой M содержит моль идеального газа массой m при температуре m. Пробирку открывают, вынимая из нее пробку пренебрежимо малой массы. Оцените скорость пробирки после того, как весь газ выйдет из нее. Влияние окружающего воздуха можно не учитывать.

Направим ось X вдоль оси пробирки (рис. 3).

Рис. 3.

Половина общего числа молекул газа имеют проекцию скорости υ_x > 0. Эти молекулы уйдут из пробирки, не передав ей никакого импульса. Другая половина молекул передаст задней стенке пробирки свой двойной импульс, а затем также покинет пробирку. Следовательно, пробирка получит импульс (в проекции на ось X)

где V — проекция скорости пробирки, m₀ масса молекулы газа,  — средняя квадратическая проекция ее скорости и N_A — число Авогадро.

Учитывая, что , то есть средний квадрат проекции скорости равен 1/3 среднего квадрата самой скорости, и что  (k — постоянная Больцмана), получим

Отсюда

где R — универсальная газовая постоянная.

 

Задача 5. Гладкий неупругий шарик (из мягкого свинца) налетает на такой же шарик, находящийся в покое (рис. 4). Скорость первого шарика направлена под углом α к линии центров. Под каким углом β разлетаются шарики после удара?

Рис. 4.

В отличие от предыдущих задач, в этой задаче рассматривается неупругое соударение. Поскольку удар неупругий, кинетическая энергия системы не сохраняется (часть ее превращается во внутреннюю). Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса.

Вследствие гладкости шариков силы их взаимодействия направлены по линии центров (по оси X) и не имеют проекций на перпендикулярное направление, то есть на ось Y. Следовательно,

где m масса каждого шарика, υ — модуль скорости первого шарика до удара, а  — проекция на ось Y скорости этого шарика после удара .

Действие же сил взаимодействия между шариками при их неупругом соударении приводит к выравниванию проекций скоростей шариков на ось X. Тогда

где  — соответствующая проекция скоростей обоих шариков после соударения.

Из полученных уравнений можно найти  и , а значит и tg β:

Отсюда

 

Задача 6. Ядро массой m, летящее со скоростью , распадается на два одинаковых осколка. Внутренняя энергия ядра Е₁, внутренняя энергия каждого из осколков Е₂ (E₁ > 2E₂). Определите максимально возможный угол между векторами скоростей осколков.

Процесс распада ядра на два осколка представляет собой как бы обращенный во времени процесс неупругого столкновения. Сначала оба осколка летят вместе, образуя единую систему (первая стадия). В результате действия внутренних сил система распадается на две части (вторая стадия). Осколки, образованные в результате разрыва ядра, разлетаются в разные стороны с постоянными скоростями (третья стадия).

Обозначим через  и  скорости осколков ядра и запишем законы сохранения импульса и полной энергии системы:

Изобразим графически скорости ядра и его осколков (рис. 5).

Рис. 5.

В параллелограмме ACB'D  — вектор скорости первого осколка,  — вектор скорости второго осколка и  — вектор скорости ядра до разрыва . Введем дополнительные векторы  и   и обозначим . Закон сохранения полной энергии и теорема о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, приводят к соотношениям

и

откуда

Очевидно, возможны два случая: a) ; б) . Рассмотрим сначала случай а), которому как раз и соответствует рисунок 5, и найдем максимально возможный угол φ.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольников ACD, ABD и АСВ и получим

Отсюда

и

где . При этом .

Случай б) рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что φ_max = π.

 

Упражнения

I. На пути тела массой m, скользящего по гладкому столу со скоростью , находится и неподвижная незакрепленная горка массой М и высотой H (профиль горки изображен на рисунке 6). Определите скорости тела и горки после того, как тело покинет горку. Тело движется, не отрываясь от горки, трение между телом и горкой отсутствует.

Рис. 6.

2. Под каким углом β разлетаются два одинаковых гладких шарика после абсолютно упругого удара? До удара один из шариков покоился, а другой двигался со скоростью , направленной под углом α к линии центров шариков.

3. По гладкой поверхности стола могут двигаться кольцо радиусом R и находящийся внутри кольца маленький шарик. В некоторый момент шарик упруго соударяется с кольцом. До удара кольцо покоится, а шарик движется со скоростью , которая составляет угол α с радиусом, проведенным в точку удара. Найдите время до следующего удара.

4. Два гладких одинаковых шара массой М каждый покоятся на гладкий горизонтальной поверхности, касаясь друг друга. Третий шар такого же радиуса, но массой m движется по поверхности со скоростью , проходящей через точку касания неподвижных шаров. Определите скорости шаров после абсолютно упругого удара.

Ответы

1. Возможны два случая: а) тело преодолеет горку; б) тело не преодолеет горку.  Из законов сохранения импульса и механической энергии следует, что тело сумеет переехать через горку, если модуль его начальной скорости . Тогда модули искомых скоростей тела и горки будут равны, соответственно.

и

Заметим, что оба ответа являются решениями одной и той же системы уравнений, описывающей абсолютно упругое центральное соударение. В статье (см. задачу 1) мы ничего не говорили о первом решении, поскольку там оно описывало тривиальную ситуацию — отсутствие соударения.

2.

3.

4. Первый шар будет двигаться в прежнем направлении, но модуль его скорости изменится и будет равен . Второй и третий шары разлетятся под одинаковыми углами  к направлению движения первого шара с одинаковыми по модулю скоростями .