Гельфгат И. Сколько веревочке ни виться //Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Рассмотрим обычную, на первый взгляд, задачу. С небольшими вариациями она не раз предлагалась на экзаменах и физических олимпиадах. Вот ее условие:

Шнур длиной L лежит на гладком горизонтальном столе, причем его небольшая часть свешивается с края стола. Лежащий на столе конец шнура сначала удерживают, а затем отпускают. Определите скорость шнура υ и его ускорение a к тому моменту, когда длина свешивающейся части будет равна x.

Приведем обычно встречающееся решение этой задачи. Если масса шнура m, то масса его свешивающейся части равна . Центр тяжести этой части шнура находится на x/2 ниже поверхности стола, значит, при соскальзывании потенциальная энергия шнура уменьшилась на . Согласно закону сохранения энергии, эту величину можно приравнять к кинетической энергии шнура . Тогда для скорости шнура получаем

Ускорение всему шнуру придает сила тяжести его свешивающейся части, поэтому из второго закона Ньютона  следует

Итак, задача решена? Полученные выражения имеют правильную размерность и приводят к вполне разумным результатам в предельных случаях х > 0 и х > L. Значит, говорить больше не о чем?

Не судите опрометчиво. Попробуем ответить на один провокационный вопрос: как меняется при движении шнура горизонтальная проекция p_x его импульса (Если кто-то еще не знаком с понятием импульса тела или не умеет вычислять кинетическую энергию (о ней говорилось чуть раньше), не расстраивайтесь — все это вы узнаете очень скоро.)? Поскольку горизонтальную скорость имеет только находящаяся на столе часть шнура массой , получаем

Значит, при увеличении x импульс p_x растет только пока . Дальше импульс убывает и при обращается в ноль (шнур падает теперь вертикально).

Но ведь для уменьшения импульса необходима внешняя сила, тормозящая соскальзывание. Где же она? Не ищите — в отсутствие трения такой силы не найти. И потому неясно, за счет чего гасится горизонтальная проекция скорости шнура.

Правильный ответ такой: никакого уменьшения импульса не происходит. Мы предполагали, что каждый элемент шнура, проходя край стола, резко меняет горизонтальное движение на вертикальное, именно при этом и теряется горизонтальный импульс. Но может быть, реальное движение сложнее? Возможно, набрав достаточно большую скорость, элементы шнура сохраняют ее (по крайней мере, частично) и после соскальзывания со стола и тогда никакого противоречия не возникает?

Простой опыт подтверждает справедливость нашего предположения. Мы проделали его с металлической цепочкой, которая соскальзывала с лежащего на столе листа стекла (трение в этом случае достаточно мало). Следить за падением цепочки трудно, да в этом и нет необходимости. Достаточно присмотреться к упавшей цепочке (рис. 1).

Рис. 1

Она образует на полу довольно плотный «комок» под краем стола, но от комка отходит длинный и почти прямой «хвост» перпендикулярно краю стола. Этот хвост — звенья цепочки, упавшие последними. Значит, они действительно падали не вертикально.

Какие же элементы шнура (или цепочки), покинув край стола, движутся все же вертикально? Рассмотрим малый участок шнура длиной Δl и массой , огибающий в данный момент край стола (рис. 2).

Рис. 2

Край стола будем считать цилиндрической поверхностью радиусом . На выделенный участок действуют силы упругости T₁ и Т₂ и реакция опоры края стола ΔN (силой тяжести выбранного элемента мы пренебрегаем). Полагая , запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на радиальное направление:

Учитывая, что

получим

Отсюда следует, что сила ΔN при  обращается в ноль, а при больших x становится отрицательной. Реально это означает, что при  шнур перестает давить на угол стола, а дальше покидающие стол элементы шнура «вылетают» в сторону. 

Таким образом, полученные в самом начале формулы для скорости и ускорения шнура справедливы лишь при . А как же движется шнур дальше? Вопрос этот очень непростой, и вряд ли на него можно ответить без эксперимента (например, стробоскопической съемки падающей цепочки). Можно лишь предположить, что с увеличением высоты падения все большая часть цепочки будет переходить из комка в хвост за счет взаимодействия между частями цепочки в полете.