Зайцев И.А. Кинематика // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

 

Как вы решаете задачи на кинематику? Сколько формул вы помните? 5? 10? 15? Очень часто решение задач начинается с выписывания большого количества формул — формулы для пути, пройденного телом за n-ю секунду, формулы для отношения путей, пройденных телом за последовательные промежутки времени, формулы для разности квадратов скоростей тела и так далее. Затем эти формулы пытаются подставлять друг в друга, делить, множить... Иногда таким способом удается найти ответ. Но чаще всего задачи на кинематику — непреодолимая преграда. Это, пожалуй, один из самых трудных разделов для абитуриентов. Хотя должен быть одним из самых простых. Давайте разберемся в нем.

Будем сначала говорить о прямолинейном движении тела. Если прямую, вдоль которой оно движется, принять за ось координат 0Х (точка 0 — начало координат), то положение тела определяется его координатой х. При движении с постоянным ускорением координата тела меняется со временем по закону

                                            (*)

где х₀ — начальная координата тела (при t = 0), υ₀ — его начальная скорость и а — ускорение. Уравнение (*) и есть кинематическое уравнение движения тела. Конечно, уравнение (*) — проекция на ось х векторного уравнения для радиуса-вектора , определяющего положение центра масс тела (рис. 1). Поэтому проекция на ось ОХ тех векторных величин, которые направлены так же, как и ось ОХ, положительны, а тех, которые направлены в противоположную сторону,— отрицательны. Это нужно учитывать, подставляя эти величины в уравнение (*).

Рис. 1.

Подчеркнем еще раз: уравнение (*) — уравнение для координаты тела, а не для пути, пройденного им. Путь — положительная скалярная величина, которая не может уменьшаться. В то же время, координата тела может вести себя как угодно. Например, если υ₀ положительно и  отрицательно (вектор скорости  направлен в ту же сторону, что и ось ОХ, а вектор ускорения  — в противоположную), то координата тела вначале будет увеличиваться, а затем уменьшаться. Это сразу видно из графика зависимости х от t (рис. 2). Через некоторое время после начала движения координата станет отрицательной. Только в том случае, когда тело движется в одну сторону, путь, пройденный телом, равен абсолютному значению изменения его координаты. Поэтому, если нам нужно найти путь, пройденный телом за какое-то время, приходится разбивать движение на участки, на которых тело двигалось в одну сторону, находить изменения координаты тела на этих участках и складывать их абсолютные величины. Но в этом нет необходимости, если нас интересуют другие величины — координата, время, скорость и ускорение. Нужно просто воспользоваться кинематическим уравнением движения (*).

Рис. 2.

 

Решим с его помощью следующую задачу.

Задача 1. Камень брошен вертикально вверх. Через какое время он упадет на землю?

Выберем ось координат, направленную вертикально вверх, с началом координат, связанным с землей. В этом случае  и . Поэтому

                                          (1)

В момент падения на землю . Подставляя это значение х в кинематическое уравнение движения камня (1), получим уравнение

решая которое, найдем

Значение  соответствует моменту бросания камня; t₂ — время движения камня.

Конечно, уравнение движения определяет координату тела в любой момент времени. Воспользовавшись этим, найдем, например, тот момент времени, когда камень находился на высоте h. Подставляя в уравнение движения х = h, получим

Отсюда

На высоте h тело было дважды — в момент t_l при подъеме и в момент t₂ при спуске (конечно, , так как максимальная высота подъема тела ).

Часто нам нужно знать скорость тела в разные моменты времени. Так как , то для проекции скорости на ось ОХ имеем

                                              (**)

Это второе кинематическое уравнение движения — уравнение скорости. Оно, конечно, тоже справедливо во все время движения тела, если только ускорение а было постоянным.

Найдем, например, скорость камня в момент падения на землю. В этом случае . Поэтому

то есть в момент падения на землю скорость камня равна начальной, но направлена в противоположную сторону.

Уравнение (**) позволяет легко найти время t_п подъема камня. Так как в точке максимального подъема скорость камня равна нулю, то

Отсюда . Время подъема камня равно половине времени полета.

Мы видим, что два уравнения — для координаты и для скорости позволяют получить ответ на любой вопрос относительно движения камня. Именно их и нужно всегда помнить.

 

Решим еще одну задачу.

Задача 2. Свободно падающее тело за последнюю секунду прошло 1/3 своего пути. Сколько секунд (n) и с какой высоты (h) падало тело?

Примем за начало координат точку бросания, а ось координат направим вертикально вниз. Тогда координата тела зависит от времени по закону

                                                 (1)

. Если тело падало n секунд, время падения равно  (τ = 1 с), и

                                       (2)

Через время  после начала движения координата тела была равна 2/3 h. Поэтому

Решая уравнения (1) и (2) совместно, найдем,

Можно было выбрать и другую систему координат, например, связанную с землей и осью координат, направленной вверх. Тогда уравнение движения тела было бы таким:

Здесь при  координата , а при  — .

Можно выбрать и еще одну систему координат — с началом в точке бросания и осью, направленной вверх. В этой системе

при  координата , при  — .

В данной задаче выбор системы координат не очень существен, но часто, удачно выбрав систему координат, можно значительно упростить решение.

 

Решим, например, такую задачу.

Задача 3. С каким промежутком времени τ оторвались от крыши две дождевые капли, если через время t₀ после начала падения второй капли расстояние между каплями было равно l?

Эту задачу можно, конечно, решать в системе координат, связанной с крышей (сделайте это сами).

Но удобнее перейти к системе координат, связанной со второй каплей. Так как капли падают с одинаковым ускорением относительно земли, то их относительное ускорение равно нулю: капли движутся друг относительно друга равномерно. Их относительная скорость равна скорости первой капли относительно земли в момент отрыва второй капли . Уравнение движения первой капли в системе координат, связанной со второй, выглядит так:

где . При  — , то есть

Решив это уравнение, получим ответ:

 

Решим еще такую задачу.

Задача 4. Снаряд взрывается в некоторой точке траектории. На какой поверхности будут находиться осколки снаряда через некоторое время t после взрыва?

В системе координат, связанной с точкой взрыва снаряда и движущейся с той же скоростью, что и снаряд, и с тем же ускорением относительно земли, осколки снаряда движутся равномерно. Поэтому через время t каждый из них будет находиться на расстоянии от точки взрыва (υ₀ — скорость осколков в нашей системе координат), то есть все они будут находиться на сфере радиуса  с центром в точке взрыва снаряда.

Попробуйте решить эту задачу в системе координат, связанной с землей.

В заключение разберем случай, когда тело движется по криволинейной плоской траектории с постоянным ускорением . В этом случае, спроектировав скорость  и ускорение  тела на два взаимно перпендикулярных направления — на оси ОХ и OY, получим два однотипных уравнения движения:

и два уравнения для скорости υ тела:

(Если траектория движения тела не лежит в одной плоскости, то мы должны записать три уравнения.)

 

Решим с помощью этих уравнений следующую задачу.

Задача 5. Самолет летит горизонтально на высоте h со скоростью υ₀. Летчик должен сбросить бомбу в цель, лежащую впереди самолета. Под каким углом α к горизонту он должен видеть цель в момент сбрасывания бомбы?

Выберем неподвижную относительно земли систему координат с началом координат в точке, в которой находился самолет в момент сбрасывания бомбы (рис. 3).

Рис. 3.

Начальная скорость бомбы равна  и горизонтальна, а ускорение  направлено вдоль оси у. Поэтому

В момент t₀ падения бомбы на землю в выбранной нами системе координат , a  (рис. 4), поэтому

Рис. 4.

Исключая t₀, получим

 

Решим еще одну задачу.

Задача 6. Камень бросают горизонтально со скоростью υ₀ с горы, уклон которой равен α. На каком расстоянии L от места бросания камень упадет на землю?

В системе координат, показанной на рисунке 4, положение камня в момент времени t определяется координатами

В момент t₀ падения на землю , a , то есть

Отсюда

Можно было бы выбрать и другую систему координат, например, показанную на рисунке 5. Иногда это бывает удобно. В этой системе координат

Поэтому

Подставляя в эти уравнения значения х и у при  и решая их совместно, найдем ответ.

Рис. 5.

 

Упражнения

1. Камень свободно падает с высоты h. За какое время он проходит последний метр своего пути?

2. Камень, брошенный вертикально вверх, на высоте h побывал дважды с интервалом времени τ. С какой начальной скоростью он был брошен?

3. Камень бросают вертикально вверх со скоростью υ₀ с высоты h от поверхности земли. В этот же момент с земли со скоростью υ₀, бросают вертикально другой камень. Через какое время камни окажутся на одной высоте? Какова будет эта высота?

4. Цель, находящаяся на вершине холма, видна под углом α к горизонту с того места, где находится орудие. Как должен быть направлен ствол орудия к горизонту, чтобы попадание было точным, если начальная скорость снаряда υ₀, а высота холма равна h?

5. Камень бросают в реку. Какой будет картина воли? Нарисуйте ее.

6. Два автомобиля одновременно прошли перекресток и едут по улицам, составляющим угол α друг с другом (рис. 6). Скорости автомобилей равны υ₁ и υ₂. Через какое время расстояние между автомобилями будет равно l?

Указание. Удобно выбрать систему координат, связанную с одним из автомобилей. В ней скорость второго автомобиля постоянна и равна

Рис. 6.