Жидкевич В.И. Электрическое поле плоскости

Задачи по электростатике можно разделить на две группы: задачи о точечных зарядах и задачи о заряженных телах, размеры которых нельзя не учитывать [1—5].

Решение задач по расчёту электрических полей и взаимодействий точечных зарядов основано на применении закона Кулона и не вызывает особых затруднений. Более сложным является определение напряжённости поля и взаимодействия заряженных тел конечных размеров: сферы, цилиндра, плоскости. При вычислении напряжённости электростатических полей различной конфигурации следует подчеркнуть важность принципа суперпозиции и использовать его при рассмотрении полей, созданных не только точечными зарядами, но и зарядами, распределёнными по поверхности и объёму. При рассмотрении действия поля на заряд формула F=qE в общем случае справедлива для точечных заряженных тел и только в однородном поле применима для тел любых размеров и формы, несущих заряд q.

Электрическое поле конденсатора получается в результате наложения двух полей, созданных каждой пластиной.

В плоском конденсаторе можно рассматривать одну пластину как тело с зарядом q₁ помещённое в электрическое поле напряжённостью Е₂, созданное другой пластиной.

Рассмотрим несколько задач.

1. Бесконечная плоскость заряжена с поверхностной плотностью σ>0. Найдите напряжённость поля Е и потенциал ϕ по обе стороны плоскости, считая потенциал плоскости равным нулю. Постройте графики зависимостей Е(х), ϕ(х). Ось х перпендикулярна плоскости, точка х=0 лежит на плоскости.

Решение. Электрическое поле бесконечной плоскости является однородным и симметричным относительно плоскости. Его напряжённостьСвязь между напряжённостью и разностью потенциалов между двумя точками однородного электростатического поля выражается формулойгде х — расстояние между точками, измеренное вдоль силовой линии. Тогда  ϕ₂=ϕ₁-Eх. При х<0 при х>0  Зависимости Е(х) и ϕ(х) представлены на рисунке 1.

2. Две плоскопараллельные тонкие пластины, расположенные на малом расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены зарядом поверхностной плотностью σ₁ и σ₂. Найдите напряжённости поля в точках, лежащих между пластинами и с внешней стороны. Постройте график зависимости напряжённости Е(х) и потенциала ϕ(х), считая ϕ(0)=0. Рассмотрите случаи, когда: a) σ₁=-σ₂; б) σ₁= σ₂; в) σ₁=3σ₂-

Решение. Так как расстояние между пластинами мало, то их можно рассматривать как бесконечные плоскости.

Напряжённость поля положительно заряженной плоскости равнаи направлена от неё; напряжённость поля отрицательно заряженной плоскости направлена к ней.

Согласно принципу суперпозиции поле в любой рассматриваемой точке будет создаваться каждым из зарядов в отдельности.

а) Поля двух плоскостей, заряженных равными и противоположными по знаку зарядами (плоский конденсатор), складываются в области между плоскостями и взаимно уничтожаются во внешних областях (рис. 2, а).

При х<0 Е=0, ϕ=0; при 0<x<d при x>d Е=0,Графики зависимости напряжённости и потенциала от расстояния х приведены на рисунке 2, б, в.

Если плоскости конечных размеров, то поле между плоскостями не будет строго однородным, а поле вне плоскостей не будет точно равно нулю.

б) Поля плоскостей, заряженных равными по величине и знаку зарядами (σ₁=σ₂), компенсируют друг друга в пространстве между плоскостями и складываются во внешних областях (рис. 3, а). При х<0при 0<x<d E=0; при х>d 

Воспользовавшись графиком Е(х) (рис. 3, б), построим качественно график зависимости ϕ(х) (рис. 3, в).

в) Если σ₁= σ₂, то, учитывая направления полей и выбирая направление направо за положительное, находим:

3. На одной из пластин плоского конденсатора ёмкостью С находится заряд q₁=+3q, а на другой q₂=+q. Определите разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Решение. 1-й способ. Пусть площадь пластины конденсатора S, а расстояние между ними d. Поле внутри конденсатора однородное, поэтому разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе можно определить по формуле U=E*d, где Е — напряжённость поля внутри конденсатора.

где Е₁, Е₂ — напряжённости поля, создаваемого пластинами конденсатора.

Тогда

2-й способ. Добавим на каждую пластину зарядТогда пластины конденсатора будут иметь заряды +q и -q. Поля одинаковых зарядов пластин внутри конденсатора компенсируют друг друга. Добавленные заряды не изменили поле между пластинами, а значит, и разность потенциалов на конденсаторе. U=q/C.

4. В пространство между обкладками незаряженного плоского конденсатора вносят тонкую металлическую пластину, имеющую заряд +q. Определите разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Решение. Так как конденсатор не заряжен, то электрическое поле создаётся только пластиной, имеющей заряд q (рис. 5). Это поле однородное, симметричное относительно пластины, и его напряжённость Пусть потенциал металлической пластины равен  ϕ. Тогда потенциалы обкладок А и В конденсатора будут равны ϕ-ϕ_А=ϕEl₁; ϕ_А=ϕ-El₁; ϕ-ϕ_B=ϕ-El₂; ϕ_B=ϕ-El₂.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора Если пластина находится на одинаковом расстоянии от обкладок конденсатора, то разность потенциалов между обкладками равна нулю.

5. В однородное электрическое поле напряжённостью Е₀ перпендикулярно силовым линиям помещают заряженную металлическую пластину с плотностью заряда на поверхности каждой стороны пластины σ (рис. 6). Определите напряжённость поля Е' внутри и снаружи пластины и поверхностную плотность зарядов σ₁и σ₂, которая возникнет на левой и правой сторонах пластины.

Решение. Поле внутри пластины равно нулю и является суперпозицией трёх полей: внешнего поля Е₀, поля, создаваемого зарядами левой стороны пластины, и поля, создаваемого зарядами правой стороны пластины. Следовательно,где σ₁ и σ₂ — поверхностная плотность заряда на левой и правой сторонах пластины, которая возникает после внесения пластины в поле Е₀. Суммарный заряд пластины не изменится, поэтому σ₁+σ₂=2σ, откуда σ₁=σ-ε₀E₀, σ₂=σ+ε₀E₀. Поле снаружи пластины является суперпозицией поля Е₀ и поля заряженной пластины Е. Слева от пластиныСправа от пластины 

6. В плоском воздушном конденсаторе напряжённость поля Е= 10⁴ В/м. Расстояние между обкладками d=2 см. Чему будет равна разность потенциалов, если между пластинами параллельно им поместить металлический лист толщиной d₀=0,5 см (рис. 7)?

Решение. Поскольку электрическое поле между пластинами однородное, то U=Ed, U=200 В.

Если между пластинами пометить металлический лист, то получается система из двух последовательно соединённых конденсаторов с расстоянием между пластинами d₁ и d₂. Ёмкости этих конденсаторовИх общая ёмкость

Так как конденсатор отключён от источника тока, то заряд конденсатора при внесении металлического листа не меняется: q'=CU=С'U₁;где  емкость конденсатора до внесения в него металлического листа. Получаем:

7. На пластинах А и С, расположенных параллельно на расстоянии d=8 см друг от друга, поддерживаются потенциалы ϕ₁= 60 В и ϕ₂=-60 В соответственно. Между ними поместили заземлённую пластину D на расстоянии d₁=2 см от пластины А. На сколько изменилась напряжённость поля на участках AD и CD? Постройте графики зависимостей ϕ(x) и Е(х).

Решение. Первоначальная напряжённость поля между пластинами А и С:

E₁=1,5 кВ/м.

Напряжённость поля на участке AD: Е₂= ϕ₁/d₁, Е₂=3 кВ/м, т. е. увеличилась на 1,5 кВ/м. Напряжённость поля на участке CD  Е₃= ϕ₂/d₂, т.е. уменьшилась на Е₃=0,5 кВ/м.  Поскольку векторы направлены противоположно положительному направлению оси Ох, то Е_г, Е₂, Е₃<0 (рис. 8).

8. Точечный заряд q=5*10^-9 Кл находится на расстоянии 3 см от проводящей заземлённой стенки. Найдите поверхностную плотность заряда, индуцированного на стенке в точке А, ближайшей к заряду, и в точке В, находящейся на расстоянии 5 см от заряда.

Решение. В точках А, В, расположенных в непосредственной близости к поверхности проводника (рис. 9), поле создаётся точечным зарядом q и зарядом q', индуцированным на стенке:

В точке Агде а — расстояние от заряда до стенки,. Но поле внутри проводника равно нулю; следовательно,. Отсюда  

В точке В величина нормальной составляющей напряжённости поля точечного заряда

где b — расстояние от заряда до точки, cosα=a/b,— напряжённость поля плоскости.

Следовательно,

Список использованной литературы

1. Балаш, В. А. Задачи по физике и методы их решения / В. А. Балаш. — 4-е изд. — М. : Просвещение, 1983. — 432 с.

2. Бутиков, Е. И. Физика в примерах и задачах / Е. И. Бутиков, А. А. Быков, А. С. Кондратьев. — 3-е изд. — М. : Наука, 1989. — 462 с.

3. Зилъберман, Г. Е. Электричество и магнетизм / Г. Е. Зильберман. — М. : Наука, 1990. — 384 с.

4. Меледин, Г. В. Физика в задачах / Г. В. Меледин. — 2-е изд. — М. : Наука, 1990. — 270 с.

5. Сборник задач по физике / Л. П. Баканина [и др.]; под ред. С. М. Козела. — М. : Наука, 1990. — 347 с.