Слободянюк А.И. Очередная тема для размышлений и обсуждений

В статье рассматривается еще один способ решения исторической задачи о брахистохроне: необходимо провести между точками одной вертикальной плоскости кривую, такую, чтобы время соскальзывания без трения небольшого тела по ней было минимально.

Задача о брахистохроне. Две точки А и В находятся в одной вертикальной плоскости, как показано на рис. 1. Необходимо провести между точками кривую, такую, чтобы время соскальзывания без трения небольшого тела по ней было минимально. Эта кривая называется брахистохроной.

Рис. 1.

Данная задача явилась исторически первой, строго решенной задачей вариационного исчисления. Естественно, здесь я не собираюсь приводить этого строго решения, при желании его можно найти в любом вузовском учебнике по вариационному исчислению. Сразу приведу конечный результат – искомая кривая является циклоидой – кривой, по которой движется точка, находящаяся на ободе катящегося колеса.

Однако попытаемся хотя бы подступиться к решению этой знаменитой задачи. Введем систему координат, ось X которой горизонтальна, а ось Y вертикальна, но направлена вниз. Начало координат совместим с точкой А (рис. 2). Используя закон сохранения механической энергии, скорость движения тела в произвольной точке искомой кривой можно выразить формулой

                                                    (1)

Рис. 2.

Основная проблема, что из этого соотношения нам необходимо найти уравнение кривой. То, что эта линия может быть не прямой, следует из таких рассуждений: если начальный участок сделать круче, то тело на этом участке наберет большую скорость, что приведет к уменьшению общего времени движения, несмотря на увеличение длины пути. Поэтому начальный отрезок должен быть почти вертикальным.

Вспомним знаменитый принцип Ферма в оптике: свет «выбирает» траекторию, время движения по которой минимально (или максимально). В частности, из этого принципа можно вывести закон преломления света. Если свет следует по кратчайшему пути, то давайте попытаемся решить эту задачу, используя оптико-механическую·аналогию и закон преломления.

Уравнение (1) определяет скорость как функцию вертикальной координаты, поэтому оно справедливо для любой кривой. Итак, скорость зависит только от вертикальной координаты. В оптике скорость света определяется показателем преломления, поэтому на основании уравнения (1) можно ввести «показатель преломления» для движущегося в поле тяжести тела n – как отношение скоростей в данном горизонтальном слое к какой-то предельной скорости с:

                                                (2)

Брахистохрону можно построить (для построения воспользуемся компьютером) как траекторию луча в слоистой среде, которая описывается уравнением

                                          (3)

Однако! При у = 0 мы имеем особенность – луч входит перпендикулярно границе слоев, здесь α = 0, правда, и с показателем преломления здесь не все в порядке .  Поэтому, чему равна константа в уравнении луча, никто не знает и не сможет узнать никогда, потому что она может быть равна чему угодно.

Поэтому начнем с конечной точки и, задавая различные значения начального угла, постараемся попасть в начальную точку.

Алгоритм расчета почти очевиден:

• разбиваем область распространения луча на N равных горизонтальных слоев толщиной Δу (рис. 3);

• задаем начальные условия (х₀, у₀, α₀);

• рассчитываем константу уравнения (2):

• рассчитываем смещение луча (его координаты при входе в следующий слой):

• рассчитываем значение угла в следующем слое:

• продолжаем процедуру до тех пор, пока не доберемся до последнего слоя.

Рис. 3.

Несмотря на свою простоту, этот алгоритм расчета требует особой осторожности, прежде всего в выборе числа интервалов разбиения. Посмотрите, как меняется рассчитанная траектория при изменении числа слоев разбиения (рис. 4).

Рис. 4.

Для надежности траектории, приведенные на рис. 5, построены при N = 1000.

Рис. 5.

Немного повозившись, можно методом подбора найти такой начальный угол, что траектория все-таки попадает в нужную точку А.

Не стану утверждать, что приведенный рисунок дает полный ответ предложенной задачи, но все-таки данный метод в принципе позволяет рассчитать нужную кривую почти в каждом конкретном случае.

Однако дальше речь пойдет совсем не об этом. Предлагаю самостоятельно попытаться найти ответы на следующие вопросы.

1. Как можно пояснить произвольность константы в уравнении (2)?

2. Допустим, что крайние точки искомой кривой находятся на одном уровне. В этом случае брахистохрона (она же циклоида) имеет точку минимума, т.е. кривая сначала опускается, а затем поднимается. Можете ли Вы привести оптическую аналогию такого поведения?

3. Как бы изменился вид искомой траектории, если бы сила тяжести линейно зависела от вертикальной координаты?

Однако все эти вопросы просто подготавливают Вас к основной теме:

1. Можно ли каким-либо образом объяснить принцип Ферма? Откуда луч света «знает», где минимальный путь?

2. Связан ли принцип Ферма с известным таутохронизмом линзы (независимостью времени движения света от источника до изображения)?