Сакович А.Л. Точки равного потенциала

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈ (рис. 1 а). Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С₁ и С₂ (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и С₁ и между точкой А и С₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и С₁ и между точкой В и С₂ равны). Аналогично, точки С₃ и С₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

а.

б.
Рис. 1.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С₁ и С₂ (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если . Аналогично, точки С₃ и С₄ имеют одинаковый потенциал, если .

Покажем на примерах, как можно использовать эти способы для преобразования электрических цепей.

Метод объединения равнопотенциальных узлов:точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Пример 1. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: а) R₁ = R₃ = 2R, R₂ = R₄ = R, R₅ = 3R; б) R₁ = R₄ = 2R, R₂ = 4R, R₃ = R, R₅ = 5R.

Рис. 2.

а) Если провести через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а), то равны сопротивления участков АС₁ и АС₂ (R₁ = R₃), и равны сопротивления участков ВС₁ и ВС₂ (R₂ = R₄). Следовательно, точки С₁ и С₂ симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

б) Если провести прямую АВ (рис. 3 а), то сопротивления участков АС₁ и АС₂ не равны , следовательно, точки С₁ и С₂ не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С₁ и С₂имеют равные потенциалы, т.к. .

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

а

б
Рис. 3.

Пример 2. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₃ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Рис. 4.

Рис. 5.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₃ (рис. 5). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂ и А₁А₄, и равны сопротивления (равны длины – диагонали) участков В₃В₁, В₃А₂ и В₃А₄. Следовательно точки В₁, А₂ и А₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃, А₁В₂ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₃А₃, В₃В₂ и В₃В₄. Следовательно точки А₃, В₂ и В₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6). Три резистора R₀ соединены параллельно между точками А₁ и А₂ (В₁, А₄), шесть резисторов R₀ – параллельно между точками А₂ (В₁, А₄) и А₃ (В₂, В₄), три резистора R₀ – параллельно между точками А₃ (В₂, В₄) и В₃, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

.

Рис. 6.

Пример 3. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₂ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₂ (рис. 7 а). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂, и равны сопротивления (равны длины – ребра) участков В₂В₁, В₂А₂. Следовательно точки В₁ и А₂ симметричны относительно прямой А₁В₂ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₂А₃ и В₂В₄. Следовательно, точки А₃ и В₄А₁  симметричны относительно прямой В₂ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Точки А₂ и В₄имеют равные потенциалы, т.к. . Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 д). Резисторы на участке А₁А₂ соединены параллельно, и резисторы на участке А₂В₂ – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

а

б

в

г

д
Рис. 7.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход.

Метод разделения узлов: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 8) сопротивлением R₀ каждый.

Рис. 8.

Разделим узел в середине каркаса на два узла О₁ и О₂ так, как показано на рис. 9 а. Это можно сделать, так как точки О₁ и О₂ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁, AO₂, и равны сопротивления участков BO₁, BO₂. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично . Тогда общее сопротивление цепи равно .

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О₃ и О₄ симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО₃ и АО₄ не равны, а отношения сопротивлений участков АО₃ и АО₄ не равны отношению сопротивлений участков ВО₃ и ВО₄.

а

б

в

г
Рис. 9.

Пример 5. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R₀ каждый.

Рис. 10.

Разделим узел в середине каркаса на три узла О₁, О₂ и О₃ так, как показано на рис. 11 а. Это можно сделать, так как точки О₁, О₂ и О₃ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁ и BO₁, участков AO₂ и BO₂, и участков AO₃ и BO₃, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.

Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично , сопротивление . Тогда общее сопротивление цепи равно

а

б

в
Рис. 11.

Литература

1. Зильберман А. Расчет электрических цепей // Квант. – 1988. – № 8. – С. 30-34.
2. Петросян В.Г., Долгополова Л.В., Лихицкая И.В. Методы расчета резисторных схем постоянного тока // Физика. – 2002. – № 14, 18, 22.
3. Хацет А. Методы расчета эквивалентных сопротивлений // Квант. – 1972. – № 2. – С. 54-59.