Дешковский А., Койфман Ю.Г. Метод размерностей в решении задач

Дешковский А., Койфман Ю. Метод размерностей в решении задач //ФПВ. – 2002. – № 2. – С. 71-81.

При решении задач по физике на любом уровне необычайно важно определить наиболее приемлемый метод или методы, а уж затем перейти к «техническому» воплощению. Учителя-виртуозы (мы сознательно употребили это выражение, так как считаем во многом схожим прочтение музыкального произведения музыкантами-импровизаторами и учителями-виртуозами, нашедшими собственные, авторские подходы в трактовке и толковании физических закономерностей) уделяют много времени предварительному обсуждению проблемы. Говоря другими словами, обсуждение метода зачастую не менее важно, чем решение задачи, поскольку происходит своеобразный обмен методиками, соприкосновение различных точек зрения, что, собственно, и является целью процесса обучения. Процесс подготовки к решению задачи во многом напоминает процесс подготовки актера к спектаклю. Обсуждение ролей, характеров героев, обдумывание интонаций, музыкальных реприз и художественных декораций являются важнейшими элементами погружения актера в роль. Не случайно, что многие известные театральные работники ценят подготовительный процесс и вспоминают атмосферу репетиций и собственные находки. В процессе преподавания учитель использует различные методы или «спектр методов». Одним из общих методов решения является решение задач методом размерности. Суть данного метода заключается в том, что искомая закономерность может быть представлена в виде произведения степенных функций физических величин, от которых зависит искомая характеристика. Важным моментом в решении является нахождение этих величин. Анализ размерностей левой и правой частей соотношения позволяет определить аналитическую зависимость с точностью до постоянного множителя.

Рассмотрим, например, от чего может зависеть давление в газе. Из повседневного опыта мы знаем, что давление является функцией температуры (увеличивая температуру, мы увеличиваем давление), концентрации (давление газа возрастет, если, не изменяя его температуры, мы поместим в данный объем большее число молекул). Естественно предположение о зависимости давления газа от массы молекул и их скорости. Понятно, что чем больше масса молекул, тем больше будет давление при прочих постоянных величинах. Очевидно, что при увеличении скоростей молекул давление будет возрастать. (Отметим, что все вышеизложенные рассуждения говорят о том, что все показатели степеней в окончательной формуле обязаны быть положительными!) Можно предположить, что давление газа находится в зависимости от его объема, однако если мы поддерживаем постоянной концентрацию молекул, то давление от объема не зависит. Действительно, в случае, если мы приведем в соприкосновение два сосуда с одинаковыми газами одной и той же концентрации, скоростями молекул, температурой и т.д., то, убрав перегородку, разъединяющую газы, мы не изменим давления. Таким образом, изменив объем, но оставив неизменным концентрацию и другие параметры, мы не изменили давления. Иначе говоря, мы не должны будем вводить объем в наши рассуждения. Казалось бы, что мы вправе строить функциональную зависимость, но, быть может, мы ввели избыточную информацию? Дело в том, что температура – это энергетическая характеристика тел, поэтому она связана с энергией молекул, т.е. является функцией массы и скорости молекул, составляющих тело. Поэтому, включая в наши предположения зависимости давления от концентрации, скоростей и массы молекул, мы уже «позаботились» о всех возможных зависимостях, которые в том числе могут включать и температуру. Говоря иными словами, искомая функциональная зависимость может быть записана в виде:

                                             (1)

Здесь p– давление газа, т0 – масса молекулы, n – концентрация, u – скорость молекулы.

Представим давление, массу, концентрацию, скорость в основных величинах интернациональной системы: 

Зависимость (1) на языке размерностей имеет вид:

                                     (2)

 
                                (3)

 
Сравнение размерности левой и правой части дает систему уравнений

                                                 (4)

 

Решая (4), получим а = 1; b= 1; с = 2. Давление газа теперь можно записать как 

                                              (5)

Обратим внимание на то, что коэффициент пропорциональности нельзя определить, используя метод размерностей, но, тем не менее, мы получили неплохое приближение к известному соотношению (основное уравнение мо-лекулярно-кинетической теории).

 

Рассмотрим несколько задач, на примере решения которых продемонстрируем суть метода размерностей.

Задача 1. Оцените выражение для периода колебаний математического маятника, используя анализ размерностей. Предположим, что период колебаний маятника зависит от его длины, ускорения свободного падения и массы груза(!):  

                                             (6)

Представим все вышеупомянутые величины:

                 (7)

С учетом (7) перепишем искомую закономерность выражением

                                             (8)

                                              (9)

 
Теперь уже нетрудно записать систему уравнений:

                                                      (10)

Таким образом,  ; с = 0.

                                           (11)

Отметим, что «масса имеет нулевую размерность», т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы:  

                                                     (12)

 

Задача 2. Эксперименты показали, что скорость звука в газах зависит от давления и плотности среды. Сравните скорости звука в газе для двух состояний  .

На первый взгляд кажется, что нам необходимо ввести в рассмотрение температуру газа, так как хорошо известно, что скорость звука зависит от температуры. Однако (сравните с рассуждением выше) давление может быть выражено как функция плотности (концентрации) и температуры среды. Поэтому одна из величин (давление, плотность, температура) является «лишней». Поскольку по условию задачи нам предлагается сравнить скорости разных давлений и плотностей, то разумно исключить из рассмотрения температуру. Отметим, что если бы нам надо было сделать сравнение для разных давлений и температур, то мы бы исключили плотность.

Скорость звука в условиях данной задачи может быть представлена  

                                        (13)

 

Соотношение (13) перепишем как

                     (14)

Из (14) имеем

                                         (15)

Решение (15) дает  .

Результаты экспериментов имеют следующую функциональную зависимость: 

                                                     (16)

Скорость звука для двух состояний имеет вид:  

                                 (17)

Из (17) получим отношение скоростей  

                                                  (18)

 

Задача 3. На цилиндрический столб намотан канат. За один из концов каната тянут с силой F. Для того чтобы канат не скользил по столбу, когда на столб намотан лишь один виток, второй конец удерживается с силой f. С какой силой нужно удерживать этот конец каната, если на столб намотано n витков? Как изменится сила f, если выбрать столб вдвое большего радиуса? (Сила f не зависит от толщины каната.)

Совершенно очевидно, что сила f в данном случае может зависеть лишь от приложенной внешней силы F, коэффициента трения и диаметра столба. Математическую зависимость можно представить как  

                                            (19)

Поскольку коэффициент трения является величиной безразмерной, то (19) перепишем в виде  

                                             (20)

 так как а = 1; с = 0 (a – коэффициент пропорциональности, связанный с μ). Для второго, третьего, ..., п-го намотанного витка запишем аналогичные выражения:

                         (21)

Подставляя α из (20) в (21), получим: 

                                            (22)

Хорошо известно, что «метод размерностей» зачастую с успехом применяется в гидродинамике и аэродинамике. В некоторых случаях он позволяет «оценить решение» достаточно быстро и с хорошей степенью надежности.

 

Задача 4.  Оцените силу сопротивления тел, движущихся в жидкости.

Совершенно понятно, что в данном случае сила сопротивления может зависеть от плотности жидкости, скорости потока и площади поперечного сечения тела:  

                                             (23)

 Выполнив соответствующие преобразования, найдем, что 

                                               (24)

Как правило, соотношение (24) представляют в виде 

                                              (25)

где  . Коэффициент с характеризует обтекаемость тел и принимает различные значения для тел: для шара с = 0,2 – 0,4, для круглого диска с = 1,1 – 1,2, для каплеобразного тела с » 0,04. (Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1974.)

До сих пор мы рассматривали примеры, в которых коэффициент пропорциональности оставался безразмерной величиной, однако это не означает, что мы должны всегда следовать этому. Вполне возможно сделать коэффициент пропорциональности «размерным», зависящим от размера основных величин. Например, вполне уместно представить гравитационную постоянную  . Говоря другими словами, наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее численное значение зависит от выбора основных величин. (Здесь нам кажется уместным сделать ссылку на статью Д.В.Сивухина «О международной системе физических величин», УФН, 129, 335, 1975.)

 

Задача 5. Определите энергию гравитационного взаимодействия двух точечных масс т1 и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга.

Помимо предложенного метода анализа размерностей, дополним решение задачи принципом симметриивходящих величин. Соображения симметрии дают основания считать, что энергия взаимодействия должна зависеть от т1 и т2 одинаковым образом, т.е. в окончательное выражение они должны войти в одинаковой степени: 

                                (26)

 Очевидно, что 

          (27)

 Анализируя соотношение (26), найдем, что

а = 1; b = 1; с = –1,

 
                                               (28)

 

Задача 6. Найдите силу взаимодействия между двумя точечными зарядами q1 и q2, находящимися на расстоянии r.

Мы здесь можем воспользоваться симметрией, но если не хотим делать предположений о симметрии или не уверены в такой симметрии, то можно использовать другие методы. Данная статья написана для того, чтобы показать различные методы, поэтому мы решим задачу другим способом. Очевидна аналогия с предыдущей задачей, однако в данном случае можно воспользоваться принципом нахождения эквивалентных величин. Попытаемся определить эквивалентную величину – напряженность электрического поля заряда q1 в точке нахождения заряда q2. Понятно, что искомая сила – это произведение q2 на найденную напряженность поля. Поэтому будем предполагать зависимость напряженности от искомых величин в виде:  

                                                  (29)

Представим все в основных единицах: 

              (30)

Проделав все преобразования, получим систему уравнений 

                                         (31)

Таким образом, а = –1; b= 1; с = –2, и выражение для напряженности принимает вид  

                                                    (32)

Искомая же сила взаимодействия может быть представлена выражением  

                                                (33)

В соотношении (33) отсутствует безразмерный коэффициент 4π, который был введен по историческим причинам.

 

Задача 7.  Определите напряженность гравитационного поля бесконечного цилиндра радиусом r0 и плотностью r на расстоянии R (R > r0) от оси цилиндра.

Поскольку мы не можем сделать предположений о равноправии r0 и R, то решить данную задачу методом размерностей, не привлекая иных соображений, довольно трудно. Попытаемся понять физическую суть параметра r. Он характеризует плотность распределения массы, создающей интересующую нас напряженность поля. Если цилиндр сжать, оставив массу внутри цилиндра неизменной, то напряженность поля (на фиксированном расстоянии R > r0) будет такой же. Иначе говоря, линейная плотность является более важной характеристикой, поэтому применим метод замены переменной. Представим  . Теперь s является новой переменной в предложенной задаче, при этом: 

 Предполагаемую степенную зависимость можно записать  

                                               (34)

 
                       (35)

Составим систему уравнений:

                                                (36)

Решение системы уравнений выглядит так: а = 1; b= 1; с = –1, и выражение для напряженности гравитационного поля принимает вид:  

                                    (37)

Отметим, что замена переменной позволила упростить решение задачи.

Решить же предложенную задачу методом размерностей без замены переменной весьма сложно.

Рассмотрим задачу, которую можно решить, применяя принцип разбиения «одинаковой» размерности на «разные».

 

Задача 8. Оцените дальность полета и высоту тела, брошенного под углом a к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Применяя ранее предложенный метод, получим, что дальность полета и высота имеют одинаковый вид 

 .                                                    (38)

 Обратим внимание на то, что угол a отсутствует в выражении (38), так как он является безразмерной величиной. Понятно, что такое решение не является удовлетворительным! Для решения предложенной проблемы применим принцип разбиения «одинаковой» размерности на «разные». Для этого введем так называемые «горизонтальные и вертикальные» метры  . В этом случае дальность полета может быть представлена видом: 

Высота полета имеет размерность  . Горизонтальная и вертикальная скорости и ускорение свободного падения принимают соответственно вид: 

Построим математическую конструкцию для дальности и высоты полета:  

                                            (39)

Анализируя выражение (39), получим теперь 

                         (40)

 
                                      (41)

Данный метод является более сложным, однако хорошо работает, если имеется возможность различить величины, измеряемые одной и той же единицей измерения. Например: инерционная и гравитационная масса («инерционные» и «гравитационные» килограммы), вертикальное и горизонтальное расстояние («вертикальные» и «горизонтальные» метры), сила тока в одной и другой цепи и т.п.

 

Суммируя все вышеизложенное, отметим:

1. Метод размерностей может быть использован в случае, если искомая величина может быть представлена в виде степенной функции.

2. Метод размерностей позволяет качественно решить задачу и получить ответ с точностью до коэффициента.

3. В некоторых случаях метод размерностей является единственным способом решить задачу и хотя бы оценить ответ.

4. Анализ размерностей при решении задач широко используется в научных исследованиях.

5. Решение задач методом размерностей является дополнительным или вспомогательным методом, позволяющим лучше понять взаимодействие величин, их влияние друг на друга.

 

Выложил alsak
Опубликовано 03.01.08
Просмотров 16019
Рубрика Решение задач
Тема Без тем