Акуленко В.Л. «Классическая» ошибка

В статье В.М.Шинкарева [1] актуализирована тема «кочующих ошибок», допускаемых различными авторами и переходящих из одного издания учебного пособия в другое. В цитированной работе речь идет об ошибках, допускаемых в изложении теоретического материала. К сожалению, и составители пособий по решению задач не избежали «кочующих» ошибок. Не ставя перед собой цели подробно анализировать каждое из пособий, приведенных в списке использованной литературы, в настоящей статье обратим внимание на одну типичную ошибку, которую можно обнаружить практически у каждого составителя сборников задач, изданных в разные годы. Речь пойдет о целом классе традиционно неверно решаемых задач, которые можно встретить в большинстве учебных пособий, в том числе и рекомендованных поступающим в вузы. Это задачи, в которых рассматривается переход от движения по наклонной плоскости к движению по плоскости горизонтальной. Они регулярно включаются в задания олимпиад по физике и в экзаменационные задания для абитуриентов .

Обратимся к типичной для указанного класса задаче № 148 из [2]: «Санки съезжают с горы высотой h и углом наклона a и движутся дальше по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всем участке пути санок одинаков и равен μ. Определите расстояние s, которое пройдут санки по горизонтальному участку до полной остановки».

В [2] приведено следующее решение этой задачи.

«Изменение механической энергии санок равно работе сил трения на наклонном и горизонтальном участках (А_тр и А_тр2). Потенциальную энергию будем отсчитывать от основания горы. Тогда получим уравнение

или

                              (1)

где l – длина наклонного участка. Как видно из рис. 1,

                                                      (2)

Рис. 1.

Сила трения на наклонном участке

                                       (3)

сила трения на горизонтальном участке

                                                (4)

Подставив значения (2)-(4) в уравнение (1), получим

откуда

                                           (5)

Этот ответ имеет смысл лишь тогда, когда , в противном случае санки не сдвинутся с места (s = 0).»

Автором [2] предложено подробное решение и даже сделан анализ ответа. Проанализируем этот ответ более внимательно, совершив предельный переход.

Пусть плоскость горы составляет с горизонтальным участком угол, близкий к 90°, т.е. . (Мы имеем право на такое предположение, поскольку условие задачи никаких ограничений на величину угла α не налагает.) При этом из (5) получим:

Очевидно, что мы пришли к фантастическому результату: отвесно падающее тело не отскакивает от горизонтальной плоскости, не проникает в нее, не деформируется, не нагревается, а продолжает скользить в горизонтальном направлении, перпендикулярном к первоначальному направлению движения!

Какая же сила изменила направление скорости на 90°? Совершенно ясно, что при падении такой силы нет, так как все силы, действующие на тело, направлены вдоль вертикали.

Далее, из ответа, полученного в [2], следует, что чем больше a, тем больше s. А это далеко не так.

Из такого несложного анализа следует, что ответ, представленный формулой (5), неверен. Неверный же ответ указывает на неправильное решение.

В каком же месте своих рассуждений ошибаются авторы задач рассмотренного типа, уже возведенных в ранг «классических»? А делают они одну и ту же «классическую» ошибку, пренебрегая процессами, происходящими при переходе тела от движения по наклонной плоскости к движению по горизонтальной поверхности. Составители задач умело пользуются законом сохранения и превращения энергии, полностью забывая о законе сохранения импульса. И это не удивительно. Ведь мы привыкли рассматривать два типа удара: абсолютно упругий (тело отскакивает от поверхности Земли) и абсолютно неупругий (вся механическая энергия переходит во внутреннюю энергию тела и Земли). И коль скоро удар саней о горизонтальную плоскость при переходе на нее с наклонной плоскости нельзя отнести к ударам ни первого, ни второго вида, то импульс предается полному забвению.

• «угол α достаточно мал»;

• «переход от наклонной плоскости к плоскости горизонтальной – плавный».

Разрешают ли эти оговорки проблему?

Для чего «угол α достаточно мал»? Для того чтобы тело не сдвинулось с места? Но каким бы малым ни был угол a, при переходе тела с наклонного участка на горизонтальный происходит удар, сопровождающийся потерей некоторой части энергии!

Что означает термин «плавный переход»? То, что тело на определенном участке своей траектории движется по дуге окружности? Если это так, то оно испытывает определенную перегрузку, и на этом участке мы не имеем права для определения силы трения использовать формулу  .Требование большей плавности перехода (т.е. увеличения радиуса окружности, по дуге которой движется тело), приводит к уменьшению перегрузки, но одновременно и к увеличению протяженности «проблемного» участка. Уменьшение же радиуса кривизны сопровождается существенным увеличением перегрузки.

Таким образом, и вторая поправка не решает проблемы. Более того, она существенно усложняет решение задачи.

Оправдать решение анализируемой задачи могло бы следующее дополнение к условию: «Потерями энергии при переходе санок с наклонного участка на горизонтальный пренебречь». Однако ни в одном из пособий, которыми располагал автор настоящей статьи, дополнений, подобных предложенному, в условиях задач рассматриваемого типа не было обнаружено.

Проведенный выше анализ показывает, что модельная идеализация, использованная в [2] и других пособиях, содержащих решение задачи, аналогичное анализируемому, недопустима.

{mospagebreak}Используемый нами подход к решению задач рассматриваемого типа, не требующий введения дополнительных оговорок в условиях, состоит в следующем.

Так как при переходе на горизонтальный участок тело соударяется с горизонтальной плоскостью, то оно неизбежно передает Земле часть импульса. Следует определить, какую именно часть импульса теряет тело при ударе.

Разложим импульс, которым обладает тело перед ударом, на горизонтальную  и вертикальную  составляющие (рис. 2). Очевидно, вертикальная составляющая  в процессе соударения передается Земле. Так как размеры тела не учитываются (движется материальная точка) и, следовательно, его переход на горизонтальную плоскость происходит за очень короткий промежуток времени, то горизонтальная составляющая изменений не претерпевает.

Рис. 2.

Используем это обстоятельство при решении задачи, используемой в данной статье в качестве примера.

Пусть санки начинают движение из точки А, расположенной на высоте h, отсчитанной от горизонтальной плоскости. Обозначим точкой О место перехода санок с наклонной плоскости на горизонтальный участок, точкой В –место остановки санок (рис. 1). Находясь в точке А, санки обладают потенциальной энергией

                                       (6)

где т – масса санок. При перемещении саней из точки А в точку О их потенциальная энергия частично расходуется на совершение работы против силы трения F_тpl и частично – превращается в кинетическую энергию саней Е_л. По закону сохранения и превращения энергии:

                                               (7)

где

                       (8)

                                                   (9)

u₀ – скорость саней перед соударением с горизонтальной плоскостью.

Подставив (6), (8), (9) в (7), получим:

                                      (10)

Из (10) следует:

                                            (11)

Импульс  разложим на горизонтальную  и вертикальную  составляющие. Последняя из них во время удара передается Земле. Составляющая  сохраняется, и в проекции на горизонтальную плоскость имеем:

                  (12)

Следовательно, скорость, с которой сани начинают движение из точки О, определяется по формуле

                                      (13)

По закону сохранения и превращения энергии:

                                          (14)

Подставив (13) в (14) и решив уравнение относительно s, найдем:

Этот ответ справедлив, если . Если же , то .

Отметим сразу, что переход от движения по наклонной плоскости к движению по горизонтальной плоскости – явление достаточно сложное, и его подробное рассмотрение выходит далеко за рамки школьного курса физики. Приведенное здесь решение не является описанием реального процесса, а представляет собой лишь приближенную его модель. Тем не менее предложенное нами решение не вступает в противоречие с физическими законами и не приводит к парадоксальным результатам при предельных переходах к малым углам и углам , а потому оно представляет собой оправданную идеализацию.

{mospagebreak}Ошибки в учебных пособиях – это серьезная проблема, и, по нашему мнению, она должна решаться во всех сферах, обеспечивающих деятельность системы образования. Успешное разрешение этой проблемы возможно при тесном и заинтересованном сотрудничестве школьных учителей, составителей олимпиадных задач и конкурсных заданий вступительного экзамена по физике, авторов учебных и методических пособий, методистов учреждений образования, рецензентов и редакторов издательств, – всех тех, от чьей квалификации зависит качество учебных пособий, преподавания и обучения. В отсутствие такого сотрудничества снова будут составляться «решебники» с образцами неправильно решенных задач, а педагоги, не обнаружившие этих ошибок, будут неправильно обучать детей. При этом есть опасность, что участники олимпиад и абитуриенты, представившие правильное решение, могут быть необъективно оценены. Ведь далеко не всякий школьник в состоянии отстоять свое мнение, и отнюдь не всякий преподаватель во время вступительного экзамена в вуз пожелает вступать в полемику со вчерашними школьниками и заново анализировать решение задачи (при нынешних конкурсах и нормах времени, регламентирующих проведение вступительного экзамена, у экзаменатора почти нет такой возможности).

Проблема встает и перед учителем физики, обнаружившим ошибку. Действительно, в силу указанного выше обстоятельства, давая школьникам образец правильного решения, учитель может оказать им как будущим абитуриентам недобрую услугу, поскольку неверное, но общепринятое решение приводит к другому результату.

Практически любое учебное пособие по физике содержит в себе ошибки, которые далеко не всегда ученик может найти самостоятельно (опечатки, иллюстрации, задачи, формулировки и т.д.). Поэтому обращать внимание учеников на ошибки в школьных учебниках – обязанность учителя. Коме того, учитель должен предостеречь учеников от использования в процессе самообразования (в частности, при подготовке к вступительным экзаменам) тех изданий, которые содержат грубые физические ошибки, сообщая о содержащихся в них авторских ошибках, опечатках и т.п., и напротив – рекомендовать те пособия, которые написаны квалифицированно.

Мы считаем также, что, обнаружив в учебном пособии ошибку, учитель должен информировать о ней коллег-предметников через профессиональные журналы, газеты и методические службы. Известив об ошибке автора и издателя учебного пособия, учитель будет способствовать ее исправлению в последующих изданиях книги. При реализации такой обратной связи мы сможем в перспективе получить вполне доработанные, отвечающие современным требованиям учебные пособия.

1. Шинкарев В.М. О кочующих ошибках // Фiзiка: праблемы выкладання. – 2001. – № 1.

2. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Выш. шк., 1977.

3. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Выш. шк., 1988.

4. Голъдфарб Н.И. Сборник вопросов и задач по физике. – М.: Высш. шк., 1975.

5. Балаш В.А. Задачи по физике и методы их решения. – М.: Просвещение, 1974.

6. Мясников С.П., Осанова Т.Н. Пособие по физике. – М.: Высш. шк., 1976.

7. Зубов В.Г., Шальное В.П. Сборник задач по физике. – М.: Наука, 1975.

8. Зубов В.Г., Шальное В.П. Сборник задач по физике. – М.: Оникс-Альянс-Новая волна, 2000.

9. Марон В.Е., Городецкий Д.Н. Физика: законы, формулы, задачи. – Мн.: Выш. шк., 1986.

10. Власова И.Г. Решение задач по физике: справочник школьника. – М.: Просвещение, 1981.

11. Буров Л.И., Стрельченя В.М. Физика от А до Я: учащимся, абитуриентам, репетиторам. – М.: Парадокс, 2000.

12. Кабардин О.Ф. Физика: справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988.

13. Кротов В.М. Как научиться решать задачи по физике: Пособие для учащихся средних школ, гимназий и лицеев в 3-х частях. – Могилев, 1998.