Шмидт М.П., Шмидт А.М. Равновесие гибкой нерастяжимой подвешенной нити

Задача об определении силы натяжения в подвешенной тяжелой нити связана с проблемой прочности тросов, цепей или проводов линий электропередачи. Будем считать, что нить идеально гибкая и нерастяжимая и что ее провисание происходит только из-за различия между длиной нити L и расстоянием между опорами l. Расстояние f по вертикали между нижней точкой нити и опорами называется стрелой провеса (рис. 1, а).

Рис. 1.

Обозначим через q силу тяжести единицы длины нити. Для пологой кривой можно принять, что сила тяжести равномерно распределена не по кривой АОВ, а по ее проекции АВ. Таким образом, силу тяжести нити будем считать равной .

Рассмотрим условия равновесия правой половины нити. Действующие на нее силы изображены на рис. 1, б. Следует отметить, что сила натяжения в любом сечении нити направлена по касательной к кривой в соответствующем месте (это следует из предположения, что нить идеально гибкая). Поэтому в нижней точке нити О, принятой за начало координатной системы хОу, сила натяжения  (сила, с которой левая часть нити действует на правую) горизонтальна.

Запишем уравнение моментов относительно точки В

                                                         (1)

где  – сила тяжести половины нити. Из этого уравнения находим, что

                                                   (2)

Из выражения (2) следует, что чем меньше стрела провеса нити f, тем больше сила натяжения Т₀.

Из двух уравнений для проекций сил на оси x и у можно найти составляющие Х_В и Υ_B в силы натяжения нити в точке В.

                             (3)

                             (4)

Сила натяжения в точке B

                       (5)

или

                                    (6)

Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы, и можно воспользоваться приближенной формулой , достаточно точной для малых по модулю значений α. Тогда выражение (6) запишется

                                    (7)

Формула (7) определяет наибольшее натяжение нити в точке подвеса, которое мало отличается от наименьшего натяжения Т₀ в средней точке.

Для нахождения Τ₀ и Т_B по формулам (2) и (7) необходимо знать стрелу провеса f, а для нахождения стрелы провеса f нужно знать уравнение кривой, по которой провисает нить. Для получения требуемого уравнения рассмотрим часть нити, расположенную между началом координат и произвольным сечением с абсциссой x (рис. 1, в).

Для этой части нити запишем два уравнения равновесия (для проекций сил на оси x и y):

                                      (8)

                                       (9)

где  – сила тяжести рассматриваемой части нити, Т_х – сила натяжения на правом конце этой части.

Из уравнения (8) следует, что с удалением от нижней точки О, т.е. с увеличением угла α, сила натяжения нити возрастает и достигает максимума в точках подвеса.

Исключив из уравнений (8) и (9) Т_х, с учетом уравнения (2) получим

                                     (10)

Так как , равенство (10) запишется

                                      (11)

Соотношение (10) представляет собой дифференциальное уравнение, определяющее форму нити в положении равновесия.

Интегрируя (11), получим

                                (12)

Постоянную интегрирования С найдем из граничного условия. При
х = 0, y = 0. Откуда следует, что С = 0. Тогда выражение (12) запишется

                                       (13)

Таким образом, при сделанных нами предположениях (стрела прогиба f мала по сравнению с длиной пролета l), тяжелая нить в положении равновесия принимает форму параболы. В более точных предположениях (стрела прогиба f не мала по сравнению с длиной пролета l) уравнение кривой равновесия тяжелой нити определяет цепную линию.

Располагая уравнением (13), можно выразить стрелу провеса f через L и l. Бесконечно малый элемент длины нити равен  . Откуда

Для пологой нити квадрат производной . Поэтому

Тогда длина нити

                               (14)

Так как , то выражение (14) запишется

откуда находим стрелу прогиба

                               (15)

Задача. Определите наименьшую и наибольшую силу натяжения троса, если сила тяжести единицы длины q = 10 Н/м, длина пролета l = 20 м, а длина троса L = 21 м.

Решение. По формуле (15) находим стрелу прогиба

Наименьшую силу натяжения определим по формуле (2)

Наибольшую силу натяжения определим по формуле (7)

Ответ: f= 2,74 м, Т₀ = 182 Н, Т_В = 209 Н.

Замечание. При более точных предположениях уравнение кривой равновесия тяжелой нити представляет собой не параболу, а цепную линию. Не приводящиеся здесь вычисления дают в этом случае следующие значения искомых величин:

f= 2,76 м, T₀ = 185 Н, Т_В = 213 Н.

Сравнение более точных и приближенных значений подтверждает справедливость сделанных нами предположений для практических расчетов.

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – Т.З. – М.: Наука, 1973.