Слободянюк А.И. Второй закон Ньютона

Любой учебник физики, как для средних школ, так и для вузов, не обходился без изложения законов динамики – трех законов Ньютона. По-видимому, ни в одном из разделов курса физики нельзя найти столько различных подходов, методик изложения, определений, как в разделе «Динамика материальной точки». Возможно, эта тема кажется слишком известной и простой, поэтому каждый автор привносил нечто свое и оригинальное.

Однако любая попытка изложить вопросы динамики достаточно строго и последовательно упирается в ряд трудноопределимых препятствий. На мой взгляд, основная проблема в изложении данной темы – дать строгое определение таких физических величин, как масса и сила. Говоря об определении той или иной физической величины, прежде всего необходимо указать принципиальный метод ее измерения (операциональное определение). С этой точки зрения, все физические величины могут быть определены только на основании какого-либо физического закона. Поэтому прежде чем говорить, что «ускорение тела прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела», необходимо определить понятия массы и силы.

Проанализируем некоторые подходы авторов учебных пособий к этим вопросам. Начнем обзор с высказывания, которое не вызывает сомнений [1]. «Понятие силы весьма трудно, но им можно овладеть, потому, что силы проявляют себя повсюду...». И далее идет перечисление и описание различных сил (гравитации, силы трения и др.)· Такой подход, конечно, необходим на начальном этапе изучения, он призван сформировать интуитивное представление о силе, как о мере взаимодействия. Однако при дедуктивном построении науки (подобном «Началам» Эвклида) следует все же дать определения, а уж затем оперировать с конкретными величинами.

Можно обойтись без строгого определения на более высоком уровне изучения (как, например, в курсе теоретической механики), когда используемые понятия стали настолько привычными, что не требуют пояснений. Так, например, в [2] первый раз понятие «масса» встречается в такой «аранжировке»: «Функция Лагранжа в рассматриваемом случае пропорциональна квадрату скорости

где m – постоянная. Величина m называется массой материальной точки».

Еще один пример на эту же тему [3]: «Частицы системы характеризуются определенными константами m₁, m₂, …, такими, что

Каждая из констант m_i называется массой частицы».

К сожалению, и в некоторых учебных пособиях, предназначенных для учащихся средних школ (например, [4-5]), практически отсутствуют даже описательные определения, хотя их без труда можно найти в справочниках. Так в [6] дано: «Масса – одна из основных характеристик любого материального объекта, являющаяся мерой его инертности и гравитации. Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического действия одного материального тела на другое».

Как уже отмечалось ранее, физическое определение должно быть (или, по крайней мере, содержать в себе) операциональным. Понятно, что на основании одного закона дать два независимых способа измерения двух физических величин невозможно – неизбежно возникнет замкнутый «порочный круг». Поэтому необходимо искать способ определения одной из двух величин – массы или силы (мы считаем, что ускорение определяется кинематически – на основе эталонов длины и времени).

Ряд авторов пытаются дать определение силы исходя из других законов. Иными словами, выбирают некий эталон силы и указывают способ ее измерения. В качестве такого эталона выбирается чаще всего либо вес эталонной гири [8-10], либо сила упругости деформированной пружины. Затем масса тела определяется, как отношение действующей силы к приобретаемому ускорению (иначе говоря, второй закон Ньютона формулируется как ).

На мой взгляд, такой подход не является логически безупречным, так как неявно постулирует иные законы: закон Гука – для деформаций, закон тяготения – для веса. Более того, эти законы являются приближенными: деформация не всегда пропорциональна действующей силе, вес тела зависит от того, в какой точке Земли он измеряется.

{mosimage}Наиболее последовательно позиция о необходимости введения независимого определения силы защищается в книге [11], поэтому остановимся на ней подробнее. Автор [11] прямо заявляет: «Второй закон Ньютона может рассматриваться как закон, а не как определение силы, только в том случае, если имеется независимое от этого закона определение силы». Далее на основании ряда экспериментов и логических рассуждений доказывается, что сила является вектором, и устанавливается процедура измерения сил, независимая от измерения ускорений. За единицу силы принимается сила упругости пружины, растянутой в строго определенной степени (чем избегается использование закона Гука). Шкала сил строится на основании векторного закона сложения сил. Только после этого дается определение массы, как отношения силы к ускорению.

При таком подходе второй закон Ньютона выступает в качестве определения массы, что ничуть не лучше, чем простое определение силы. Однако далее автор приводит достаточно убедительные аргументы в защиту значимости закона, вкладывая в него дополнительное физическое содержание (аддитивность масс, векторный закон сложения сил, независимость их действия, обобщение на релятивистский случай и др.).

Второй диаметрально противоположный подход (дать независимое определение массы) используется в книгах [12-16]. В качестве примера рассмотрим изложение этих вопросов в [16], где проблемам определений уделяется серьезное внимание.

На основании ряда экспериментов обобщается тот факт, что при взаимодействии двух тел отношение ускорений (или, что равносильно, изменение скоростей), приобретаемых телами, постоянно для данных тел и не зависит от вида взаимодействия, его интенсивности. Это отношение есть характеристика тел, а не взаимодействия, иными словами это – отношение масс тел. Поэтому, если некоторое тело выбрать в качестве эталона (его массу считать постулированной), то тем самым однозначно определяется масса любого другого тела. Отметим, что такой подход используется и в наиболее популярном школьном учебнике [17]. После того, как дано определение массы, рассматривается определение силы на основании второго закона Ньютона . Далее автор [16] приводит свидетельства того, что этот закон является фундаментальным законом природы, а не простым определением, причем эта аргументация во многом схожа с [11], упомянутой ранее. Таким образом, второй закон Ньютона логически следует за третьим, как утверждение о том, что отношение ускорений взаимодействующих тел обратно отношению их масс, фактически является законом «равенства действия и противодействия».

Как видим из проведенного обзора, в учебной литературе отсутствует единый взгляд на методику изложения основных законов динамики. Вполне возможно, что это и естественно, важно только, чтобы содержание материала было физически корректным и логически стройным.

Не претендуя на абсолютную истину и оптимальность, представлю кратко собственную последовательность изучения данной темы, которая используется в физических классах Лицея Белгосуниверситета.

Лейтмотивом моего построения этого раздела является исторический подход (например, с использованием [18]): после небольшого рассказа об античной механике (главным образом об Аристотеле) необходимо показать, какой революционный переворот совершил Г.Галилей введением закона инерции. Действительно, этот закон противоречит повседневному опыту, постоянно убеждающему нас, что, для того чтобы тело двигалось, необходимо прикладывать некоторые (иногда весьма значительные) усилия. Отметим, что в изложении Галилея закон инерции тесно переплетен с принципом относительности. Значение этого закона настолько велико, что И.Ньютон включил его в свою систему законов под первым номером. Исторически неверно утверждать, что Ньютон использовал этот закон как постулат существования инерциальных систем отсчета (как это вполне логично делается сейчас), так как он не сомневался в существовании абсолютного пространства и абсолютного времени, а принцип относительности выступал в качестве достаточно интересного, но не обязательного факта. В настоящее время, однако, первый закон Ньютона трактуется именно как определение тех систем отсчета, в которых будет вестись дальнейшее описание.

Следующий этап – описание взаимодействия тел. Основной показатель наличия взаимодействия – изменение скорости тел, появление ускорения. Причем необходимо отметить, что ускорение тел зависит как от свойств самих тел, так и от свойств, характеристик взаимодействия. Поэтому возникает необходимость разделения этих свойств. Основываясь на многочисленных экспериментальных фактах (некоторые из них можно продемонстрировать [19]), доказываем, что при любом взаимодействии двух тел отношение ускорений есть величина постоянная, зависящая только от самих тел, но не от вида и интенсивности взаимодействия (третий закон Ньютона). Следовательно, это отношение может послужить основой введения характеристики инерционных свойств тел – их массы. Здесь уместно опять обратиться к истории и здравому смыслу: в обыденном бытовом понимании (и в определении Ньютона) масса есть мера количества материи, вещества, а в данном определении масса – просто количественная мера одного из свойств тела. Далее можно поговорить о таком классическом свойстве массы, как ее аддитивность. Заметим, что это свойство есть приближенный экспериментальный факт, в дальнейшем упоминается о том, что масса взаимодействующих тел отличается от суммы масс каждого из этих тел. Однако если масса есть только характеристика инерционных свойств, то в изменении массы нет ничего таинственного, если же масса воспринимается как мера количества материи, то в изменении массы появляется нечто таинственное – «исчезновение материи»(?!).

Определив количественную характеристику инерционных свойств тел, можно продолжить изучение взаимодействий – пытаясь найти характеристику этих взаимодействий. Как уже было отмечено, проявлением взаимодействия является ускорение, следовательно, характеристика взаимодействия должна быть связана с ускорением, приобретаемым телом. Опять же, основываясь на экспериментальных фактах, показываем, что для одного и того же взаимодействия (например, посредством одной и той же пружины, пары магнитов и т.д.) произведение ускорения на массу тела (или что то же самое – ускорение обратно пропорционально массе) есть величина постоянная, не зависящая от взаимодействующих тел, следовательно, она может служить характеристикой самого взаимодействия. Эта характеристика называется силой (иначе говоря, ). Само слово, конечно, знакомо учащимся, в обыденном понимании оно ассоциируется, как правило, с мышечным усилием, тягой различных движителей. Однако в физике оно имеет строго определенный и однозначный смысл, кроме того, следует показать, что сила является векторной величиной. Заметим, что, помимо простого определения силы, этот второй закон Ньютона в такой формулировке имеет другое важнейшее значение – он выступает в роли метода изучения взаимодействий различной природы, метода экспериментального получения законов взаимодействий (всемирного тяготения Ньютона, Гука, Кулона, Ампера и многих других).

На основании полученных законов появляется возможность конструировать приборы для более простых экспериментальных способов измерения как масс тел (на основании измерения силы тяжести – весы), так и сил (на основании закона Гука для упругих деформаций) – динамометры. В том, что реально измерения физических величин проводятся не на основании их определений, нет ничего удивительного – можно вспомнить об электроизмерительных приборах, не всегда функционирующих строго на основании определений соответствующих физических величин.

{mosimage}Если известны законы, позволяющие вычислить силы, то появляется прекрасная возможность использовать второй закон Ньютона как метод вычисления ускорения и затем нахождения законов движения (т.е. закон принимает вид ). Однако для того чтобы им можно было пользоваться, необходимо сформулировать и обосновать (опять же экспериментально) принцип суперпозиции – показать, что силы, действующие на одно тело, можно складывать (естественно, векторно). Сам Ньютон рассматривал свои три закона вместе с законом всемирного тяготения – только в такой связке, вместе с законом, позволяющим независимо определять силу, система уравнений становится полной и достаточной для вычисления характеристик движения. Отметим, что в формулировках Ньютона первый закон является следствием второго, однако такова историческая традиция, например, у Архимеда можно найти порядка десяти законов плавания тел (при плотностях тела, больших и меньших плотности жидкости, и т.д.), но сейчас мы пользуемся одним законом Архимеда.

На мой взгляд, принципиально важно при изучении рассматриваемой здесь темы подчеркнуть единство трех законов – каждый из них, взятый в отрыве от других, имеет малую ценность, кроме того, они взаимосвязаны хотя бы тем, что оперируют с одним набором физических величин – ускорение, масса, сила (даже в числе законов есть своя логика: три величины – три закона). Первый закон определяет системы отсчета, в которых проводятся измерения ускорений, но сам закон предполагает использование понятия взаимодействия. Третий закон дает возможность определить понятие массы; но, помимо того, также использует понятие взаимодействия и предполагает умение измерять ускорения. Хотя это не совсем относится к основной теме изложения, отметим, что если говорить о взаимодействии (а не о действии силы на объект), то этот закон полностью очевиден – есть взаимодействие, есть его характеристика – сила, естественно, она должна быть одинакова для обоих взаимодействующих тел. Второй закон – определение силы, но и с добавлением принципа суперпозиции, мощнейший метод решения основной задачи механики.

Прежде чем далее переходить к изучению конкретных видов взаимодействий (сил), требуется рассказать, что развитие механики не закончилось на установлении законов Ньютона, законов взаимодействия и развития математических методов решения уравнений, следующих из этих законов. С одной стороны, сами законы послужили основой более глубоких обобщений (таких, как законы сохранения), а с другой стороны – выявились ограниченные рамки их применимости (установленные теорией относительности и квантовой механикой).

Меня можно упрекнуть в том, что я фактически ухожу от ответа на вопрос, вынесенный в заголовок статьи. Однако если мы признаем двоякую роль второго закона Ньютона, то следует признать и необходимость двух его формулировок, пользоваться же следует той, которая соответствует стоящей перед исследователем проблеме – для изучения новых видов взаимодействия – первая, для нахождения закона движения – вторая.

Хочу заметить, что не только обсуждаемый здесь закон носит такую двойственность. Достаточно вспомнить закон Кулона (особенно в системе единиц СГСЭ): с одной стороны – позволяет вычислять силу взаимодействия двух известных зарядов, с другой – определять единицу заряда. Аналогичная ситуация с законом взаимодействия токов (законом Ампера). 

1. Роуэл Г., Герберт С. Физика. – М.: Просвещение, 1993.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. – Т. 1. Механика. – М.: Наука, 1988.

3. Астахов А.В. Курс физики. – Т. 1. – М.: Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1977.

4. Павленко Д.Г. Начала физики. – М.: Изд-во МГУ, 1988.

5. Кузмичев В.Е. Законы и формулы физики. – Киев: Навукова думка, 1989.

6. Чертов А.Г. Физические величины. – М.: Высшая школа, 1990.

7. Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. Курс физики. – Т. 1. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Элементарный учебник физики/Под ред. Г.С.Ландсберга. -Т. 1. – М.: Наука, 1975.

9. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т. 1. -М.: Наука, 1969.

10. Стрелков С.П. Механика. – М.: Наука, 1975.

11. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. – М.: Высшая школа, 1986.

12. Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное пособие по физике для поступающих в ВУЗы и самообразования. – М.: Наука, 1984.

13. Кабардин О.Ф. Физика. Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988.

14. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – Т. I, – М.: Наука, 1974.

15. Савельев И.В. Курс физики. – Т. 1. – М.: Наука, 1989.

16. Орир Дж. Физика. – Т. 1. – М.: Мир, 1981.

17. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика. 9 класс. – М.: Просвещение, 1990.

18. Кудрявцев П.С. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1974.

19. Демонстрационный эксперимент по физике в средней школе / Под ред. А.А.Покровского. – М.: Просвещение, 1978.