Волынец Е.Е. Еще раз об «оптимальном угле»

С огромным интересом проработал статью В.Л. Акуленко «Оптимальный угол», которая напечатана в пятом номере за 2003 г. Автор совершенно верно поднимает вопрос об изменении скорости тела при изменении направления движения. К сожалению, авторы многих сборников не оговаривают механизм перехода тела с наклонной плоскости на горизонтальную поверхность и т.д. В задаче следует конкретнее определять вид взаимодействия тела с поверхностью (плавный переход или удар), определять тип удара (упругий или неупругий), также конкретизировать вид движения (равномерное или равноускоренное, прямолинейное или криволинейное). В зависимости от вида движения и вида удара будет по-разному изменяться импульс тела. Изменение импульса приведет к изменению характера дальнейшего движения. К сожалению, автор статьи лишь частично исследует изменение скорости движения тела при ударе. В задачах, приведенных В.Л. Акуленко, не рассматривается влияние силы трения в момент удара (например, в задачах с наклонной плоскостью). При переходе тела на горизонтальную поверхность будет наблюдаться удар. В качестве примера рассмотрим неупругий удар, продолжающийся некоторое конечное время. За это время сила трения успевает уменьшить и горизонтальную составляющую скорость. В момент удара наиболее существенно влияние сил, изменяющих скорость движения. Таковыми являются сила трения и сила реакции опоры.

Согласно 2-му закону Ньютона:

Найдя проекции этого уравнения на оси координат и пренебрегая силой тяжести в момент удара, получим:

Разделив эти уравнения друг на друга, получим:

Из этого уравнения получим:

В данной задаче скорость будет меньше, чем  (см.: «Фiзiка: праблемы выкладання», № 5, 2003 г.). Следовательно, будет меньше и расстояние, пройденное телом по горизонтальной поверхности, причем, если , тело остановится у основания наклонной плоскости.

С учетом этого явления решение задач, представленных В.Л. Акуленко, выглядит несколько иначе.

№ 1. Под каким углом к горизонту следует расположить наклонную плоскость длиной l, чтобы тело, соскользнув с ее вершины, преодолело максимально возможный путь по горизонтальной поверхности? Трение на наклонном участке отсутствует, коэффициент трения на горизонтальном участке равен μ. Вертикальный удар считать неупругим.

Скорость тела у основания наклонной плоскости можно найти по закону сохранения энергии:

,

т.е. в свою очередь , тогда

Начальная скорость движения по горизонтали определяется способом, приведенным мной ранее:

,

или

По теореме об изменении кинетической энергии получим:

или

Торможение происходит на горизонтальном участке, поэтому

Тогда

Подставив значение скорости, можно найти путь, пройденный телом по горизонтали:

Для определения угла исследуем функцию на экстремум. Приравняв к нулю производную последней функции, найдем значение угла a, при котором скорость после удара, а, следовательно, и дальность будет максимальной:

Решение задач 2 и 3 предлагаю изменить самостоятельно.

Аналогично необходимо поступать при рассмотрении абсолютно упругого удара. В качестве примера приведу следующую задачу.

Мяч ударяется о плоскую поверхность под углом α к нормали, восстановленной в точке падения. Под каким углом β мяч отскочит от поверхности? Коэффициент трения мяча о поверхность равен μ.

В данном случае удар вдоль оси у будем считать абсолютно упругим. За время удара будет потеряна скорость вдоль оси х. Пренебрегая действием силы тяжести, запишем изменение импульса вдоль каждой из осей:

Разделив эти уравнения друг на друга, получим:

Из этого уравнения можно найти х-ю составляющую скорости мяча после удара:

.

При упругом ударе вертикальная составляющая скорости не изменится:

Тогда

  или .

Это решение имеет смысл, если . Если же это условие не выполняется, то β = 0.

Как видно из приведенных примеров, сила трения оказывает существенное влияние на дальнейшее движение тела. На мой взгляд, нельзя сравнивать взаимодействие конькобежца с ледяной горкой и взаимодействие тел с шероховатой поверхностью, как это делает автор статьи «Оптимальный угол».

В заключение хотелось бы предложить еще одну задачу, в которой рассматривается взаимодействие тела с шероховатой поверхностью.

Тело брошено с горизонтальной поверхности под углом α, равным 30° к горизонту, со скоростью u₀ = 10 м/с. Считая вертикальный удар о поверхность упругим, определите расстояние между первым и вторым ударами. Коэффициент трения тела о поверхность μ = 0,366. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Если не учитывать сопротивление воздуха, то угол падения в точке А будет таким же, как и угол броска (30° к горизонту). Используя решение предыдущей задачи, можно найти угол β, под которым отскочит тело после первого удара:

Скорость вдоль оси x окажется равной (см. решение предыдущей задачи):

Вертикальная составляющая скорости в этом случае также не изменилась:

Скорость после первого удара окажется равной:

Дальность полета тела может быть найдена из кинематических законов движения тела, брошенного под углом к горизонту:

Интересным окажется сравнение этой дальности с дальностью полета без учета потери скорости при ударе. Если потери не учитывать, то:

s₁ = s₂ = s₃ = s₄ = ... = s,

s₁ можно найти аналогично:

Как видно из полученного результата, расчеты отличаются более чем на 40%.

На мой взгляд, при формулировке задач необходимо конкретнее оговаривать явления, происходящие с телом в процессе движения. Разночтения возникают тогда, когда такой конкретности в условии нет.